% bac2024gen-fr-septembre-sujet2-exo1.tex On considère le cube $ABCDEFGH$ représenté ci-dessous. Les points $I$ et $J$ sont les milieux respectifs des segments $[AB]$ et $[CG]$. Le point $N$ est le milieu du segment $[IJ]$. \smallskip L'objectif de cet exercice est de calculer le volume du tétraèdre $HFIJ$. On se place dans le repère orthonormé $\RepereEspace*{A}{AB}{AD}{AE}$. \begin{Centrage} \begin{EnvTikzEspace}[UniteX={0:4.8cm},UniteY={52.5:2.5cm},UniteZ={90:4.8cm}] %placement des points avec labels \coordinate (H) at (0,1,1) ; \coordinate (F) at (1,0,1) ; \coordinate (J) at (1,1,0.5) ; \coordinate (I) at (0.5,0,0) ; %coloriages \fill[lightgray,opacity=0.7] (H)--(I)--(F)--cycle ; \fill[lightgray,opacity=0.5] (H)--(F)--(J)--cycle ; \fill[lightgray,opacity=0.9] (I)--(F)--(J)--cycle ; \PlacePointsEspace{A/0,0,0/bg B/1,0,0/bd C/1,1,0/d D/0,1,0/g E/0,0,1/g F/1,0,1/bd G/1,1,1/d H/0,1,1/g I/0.5,0,0/b J/1,1,0.5/d N/0.75,0.5,0.25/h} %segments pointillés \TraceSegmentsEspace[semithick,dashed]{A/D D/H D/C} \TraceSegmentsEspace[thick,dashed]{H/I H/J I/J} %segments pleins \TraceSegmentsEspace[semithick]{A/B B/C C/G G/H H/E E/A E/F B/F F/G} \TraceSegmentsEspace[thick]{H/F F/I F/J} % %Marques points \MarquePointsEspace{A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,N} \end{EnvTikzEspace} \end{Centrage} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner les coordonnées des points $I$ et $J$. En déduire les coordonnées de $N$. \item Justifier que les vecteurs $\Vecteur{IJ}$ et $\Vecteur{NF}$ ont pour coordonnées respectives :% \[ \Vecteur{IJ} \begin{pmatrix} 0,5 \\ 1 \\ 0,5 \end{pmatrix} \text{ et } \Vecteur{NF} \begin{pmatrix} 0,25 \\ -0,5 \\ -0,75\end{pmatrix}.\] \item Démontrer que les vecteurs $\Vecteur{IJ}$ et $\Vecteur{NF}$ sont orthogonaux. \smallskip On admet que $NF=\frac{\sqrt{14}}{4}$. \item En déduire que l'aire du triangle $FIJ$ est égale à $\frac{\sqrt{21}}{8}$. \end{enumerate} \item On considère le vecteur $\Vecteur{u} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que le vecteur $\Vecteur{u}$ est normal au plan $(FIJ)$. \item En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(FIJ)$ est : $4x - y - 2z - 2 = 0$. \item On note $d$ la droite orthogonale au plan $(FIJ)$ passant par le point $H$. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$. \item Montrer que la distance du point $H$ au plan $(FIJ)$ est égale à $\frac{5\sqrt{21}}{21}$. \item On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par la formule $\mathcal{V} = \frac13 \times \mathcal{B} \times h$ où $\mathcal{B}$ est l’aire d’une base et $h$ la longueur de la hauteur relative à cette base. \smallskip Calculer le volume du tétraèdre $HFIJ$. On donnera la réponse sous la forme d'une fraction irréductible. \end{enumerate} \end{enumerate}