% bac2024gen-fr-juin-sujet2-secours-exo2.tex \textit{Les parties A et B sont indépendantes.} \medskip Alain possède une piscine qui contient $50~\text{m}^{3}$ d'eau. On rappelle que $1~\text{m}^{3}=\num{1000}~\text{L}$. Pour désinfecter l'eau, il doit ajouter du chlore. \smallskip Le taux de chlore dans l'eau, exprimé en $\text{mg.L}^{-1}$, est défini comme la masse de chlore par unité de volume d'eau. Les piscinistes préconisent un taux de chlore compris entre 1 et 3~$\text{mg.L}^{-1}$. \smallskip Sous l'action du milieu ambiant, notamment des ultraviolets, le chlore se décompose et disparaît peu à peu. Alain réalise certains jours, à heure fixe, des mesures avec un appareil qui permet une précision à $0,01~\text{mg.L}^{-1}$. Le mercredi 19 juin, il mesure un taux de chlore de $0,70~\text{mg.L}^{-1}$. \medskip \textbf{Partie A : étude d'un modèle discret.} \medskip Pour maintenir le taux de chlore dans sa piscine, Alain décide, à partir du jeudi 20 juin, d'ajouter chaque jour une quantité de 15~g de chlore. On admet que ce chlore se mélange uniformément dans l'eau de la piscine. \begin{enumerate} \item Justifier que cet ajout de chlore fait augmenter le taux de $0,3~\text{mg.L}^{-1}$. \item Pour tout entier naturel $n$, on note $v_{n}$ le taux de chlore, en $\text{mg.L}^{-1}$, obtenu avec ce nouveau protocole $n$ jours après le mercredi 19 juin. Ainsi $v_{0}=0,7$. On admet que pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=0,92v_{n}+0,3$. \begin{enumerate} \item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n, v_{n} \leqslant v_{n+1} \leqslant 4$. \item Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est convergente et calculer sa limite. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{wrapstuff}[r] \begin{minipage}{5.75cm} \begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=5.7cm]{center} def alerte_chlore(s) : n = 0 v = 0.7 while ................. : n = ...... v = ...... return n \end{CodePythonLstAlt} \end{minipage} \end{wrapstuff} \begin{enumerate}[resume] \item À long terme, le taux de chlore sera-t-il conforme à la préconisation des piscinistes ? Justifier la réponse. \item Reproduire et compléter l'algorithme ci-contre écrit en langage \textsf{Python} pour que la fonction \texttt{alerte\_chlore} renvoie, lorsqu'il existe, le plus petit entier $n$ tel que $v_{n}>s$. \item Quelle valeur obtient-on en saisissant l'instruction : \hfill\texttt{alerte\_chlore(3)} ?\hfill~ Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B : étude d'un modèle continu.} \medskip Alain décide de faire appel à un bureau d'études spécialisées. Celui-ci utilise un modèle continu pour décrire le taux de chlore dans la piscine. \smallskip Dans ce modèle, pour une durée $x$ (en jours écoulés à compter du mercredi 19 juin), $f(x)$ représente le taux de chlore, en $\text{mg.L}^{-1}$, dans la piscine. \smallskip On admet que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ : $y^{\prime}=-0,08 y+\frac{q}{50}$, où $q$ est la quantité de chlore, en gramme, rajoutée dans la piscine chaque jour. \begin{enumerate} \item Justifier que la fonction $f$ est de la forme $f(x)=C \e^{-0,08 x}+\frac{q}{4}$ où $C$ est une constante réelle. \item \begin{enumerate} \item Exprimer en fonction de $q$ la limite de $f$ en $+\infty$. \item On rappelle que le taux de chlore observé le mercredi 19 juin est égal à $0,7~\text{mg.L}^{-1}$. On souhaite que le taux de chlore se stabilise à long terme autour de $2~\text{mg.L}^{-1}$. Déterminer les valeurs de $C$ et $q$ afin que ces deux conditions soient respectées. \end{enumerate} \end{enumerate}