% bac2024gen-fr-juin-sujet2-exo3.tex Soit $a$ un nombre réel strictement supérieur à 1. \smallskip On considère la suite $\Suite{u}$ définie par $u_0=a$ et, pour tout entier naturel $n$ : \[ u_{n+1}=u_n^2-2u_n+2. \] % On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n > 1$. \smallskip L'objectif de cet exercice est d'étudier la suite $\Suite{u}$ pour différentes valeurs du nombre $a$. \begin{Centrage} \textbf{Partie A : étude de la suite $\bm{\left(u_n\right)}$ dans le cas $\bm{1 < a < 2}$.} \end{Centrage} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}-2 = u_n \big(u_n-2\big)$. \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}-u_n = \big(u_n-1\big)\big(u_n-2\big)$. \end{enumerate} \item Dans cette question, on pourra utiliser les égalités établies dans la question précédente. \begin{enumerate} \item En utilisant un raisonnement par récurrence démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : \[ u_n < 2. \] \item Montrer que la suite $\Suite{u}$ est convergente et déterminer sa limite. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{Centrage} \textbf{Partie B : étude dans le cas particulier $\bm{a = 2}$.} \end{Centrage} \begin{wrapstuff}[r] \begin{minipage}{6cm} \begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=5.95cm]{flush right} def u(a, n) : u = a for k in range(n) : u = u**2 - 2 * u + 2 return u \end{CodePythonLstAlt} \end{minipage} \end{wrapstuff} \begin{enumerate} \item On donne ci-contre la fonction \texttt{u} écrite en langage \textsf{Python}. Déterminer les valeurs renvoyées par le programme lorsque l'on saisit \texttt{u(2, 1)} et \texttt{u(2, 2)} dans la console \textsf{Python}. \item Quelle conjecture peut-on formuler concernant la suite $\Suite{u}$ dans le cas où $a = 2$ ? On admettra ce résultat sans démonstration. \end{enumerate} \begin{Centrage} \textbf{Partie C : étude dans le cas général.} \end{Centrage} \begin{enumerate} \item On considère la suite $\Suite{v}$ définie pour tout enter naturel $n$, par $v_n = \ln\big(u_n-1\big)$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\Suite{v}$ est une suite géométrique de raison 2 dont on précisera le premier terme en fonction de $a$. \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 1+\e^{2^n \times \ln(a-1)}$. \end{enumerate} \item Déterminer, suivant les valeurs du réel $a$ strictement supérieur à 1, la limite de la suite $\Suite{u}$. \end{enumerate}