% bac2024gen-fr-juin-sujet1-secours-exo3.tex \begin{Centrage} \textbf{Partie A : étude d'une fonction.} \end{Centrage} On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x-\ln\big(x^2+1\big)$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien. \begin{enumerate} \item On admet que $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout nombre réel $x$, on a : \[ f'(x)=\frac{(x-1)^2}{x^2+1}. \] \item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$. \end{enumerate} \item Montrer que pour tout nombre réel $x>0$, on a : \[ f(x) = x-2\,\ln(x)-\ln\left(1+\frac{1}{x^2}\right). \] \item Calculer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. \end{enumerate} \begin{Centrage} \textbf{Partie B : étude d'une suite.} \end{Centrage} On considère la suite $\Suite{u}$ définie par : \[ \begin{dcases}u_0=7 \\ u_{n+1}=f\big(u_n\big)=u_n - \ln\big(u_n^2+1\big) \text{ pour tout } n \in \N.\end{dcases} \] % \begin{enumerate} \item Montrer, en utilisant un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ : \[ u_n \geqslant 0. \] \item Montrer que la suite $\Suite{u}$ est décroissante. \item En déduire la convergence de la suite $\Suite{u}$. \item On note $\ell$ la limite de la suite $\Suite{u}$. Déterminer la valeur de $\ell$. \item \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le script ci-dessous écrit en langage \textsf{Python} afin qu'il renvoie la plus petite valeur de l'entier $n$ à partir de laquelle $u_n \leqslant h$, où $h$ est un nombre réel strictement positif. \begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=10cm]{center} from math import log as ln #permet d'utiliser la fonction ln : #Le Logarithme népérien def seuil(h) : n = 0 u = 7 while ... : n = n + 1 u = ... return n \end{CodePythonLstAlt} \item Déterminer la valeur renvoyée lorsqu'on saisit \texttt{seuil(0.01)} dans la console \textsf{Python}. Justifier la réponse. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{Centrage} \textbf{Partie C : étude d'une intégrale.} \end{Centrage} \begin{enumerate} \item Étudier le signe de la fonction $f$ sur $\IntervalleFO{0}{+\infty}$. \item Interpréter l'intégrale : \[ I=\int_2^4 f(x)\dx. \] \item On admet dans cette question que, pour tout nombre réel $x \in \IntervalleFF{2}{4}$, on a l'encadrement : \[ 0,5x-1 \leqslant f(x) \leqslant 0,25x+0,25. \] En déduire l'encadrement : \[ 1 \leqslant I \leqslant 2. \] \end{enumerate}