% bac2024gen-fr-juin-sujet1-exo4.tex \begin{Centrage} \textbf{Partie A : étude de la fonction $\bm{f}$.} \end{Centrage} La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$ par : $f(x)=x-2+\frac{1}{2} \ln(x)$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien. On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\IntervalleOO{0}{+\infty}$, on note $f^{\prime}$ sa dérivée et $f^{\prime\prime}$ sa dérivée seconde. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer, en justifiant, les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$. \item Montrer que pour tout $x$ appartenant à $\IntervalleOO{0}{+\infty}$, on a : $f^{\prime}(x)=\frac{2x+1}{2x}$. \item Étudier le sens de variation de $f$ sur $\IntervalleOO{0}{+\infty}$. \item Étudier la convexité de $f$ sur $\IntervalleOO{0}{+\infty}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet dans $\IntervalleOO{0}{+\infty}$ une solution unique qu'on notera $\alpha$ et justifier que $\alpha$ appartient à l'intervalle $\IntervalleFF{1}{2}$. \item Déterminer le signe de $f(x)$ pour $x \in \IntervalleOO{0}{+\infty}$. \item Montrer que $\ln (\alpha)=2(2-\alpha)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{Centrage} \textbf{Partie A : étude de la fonction $\bm{g}$.} \end{Centrage} La fonction $g$ est définie sur $\IntervalleOF{0}{1}$ par $g(x)=-\frac{7}{8}x^{2}+x-\frac{1}{4} x^{2}\,\ln(x)$. On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $\IntervalleOF{0}{1}$ et on note $g^{\prime}$ sa fonction dérivée. \begin{enumerate} \item Calculer $g^{\prime}(x)$ pour $x \in \IntervalleOF{0}{1}$ puis vérifier que $g^{\prime}(x)=x\,{f\left(\frac{1}{x}\right)}$. \item \begin{enumerate} \item Justifier que pour $x$ appartenant à l'intervalle $\IntervalleOO{0}{\frac{1}{\alpha}}$, on a $f{\left(\frac{1}{x}\right)}>0$. \item On admet le tableau de signes suivant : \begin{Centrage} \begin{tikzpicture}[double distance=2pt] \tkzTabInit[lgt=4]{$x$/1,Signe de $f{\left(\frac{1}{x}\right)}$/1.15}{$0$,$\frac{1}{\alpha}$,$1$} \tkzTabLine{d,+,z,-,} \end{tikzpicture} \end{Centrage} En déduire le tableau de variations de $g$ sur l'intervalle $\IntervalleOF{0}{1}$. Les images et les limites ne sont pas demandées. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{Centrage} \textbf{Partie C : un calcul d'aire.} \end{Centrage} On a représenté sur le graphique ci-dessous : \begin{itemize} \item la courbe $\mathcal{C}_{g}$ de la fonction $g$ ; \item la parabole $\mathcal{P}$ d'équation $y=-\frac{7}{8}x^{2}+x$ sur l'intervalle $\IntervalleOF{0}{1}$. \end{itemize} \begin{Centrage} \begin{GraphiqueTikz}[x=12cm,y=12cm,Xmin=0,Xmax=1.05,Xgrille=0.1,Xgrilles=0.1,Ymin=0,Ymax=0.425,Ygrille=0.1,Ygrilles=0.1] \def\solalpha{1.72685} \TracerAxesGrilles[Grads=false]{auto}{auto} \RajouterValeursAxeX{0,0.1,1}{0,\num{0.1},1} \RajouterValeursAxeY{0,0,0.1}{0,0,\num{0.1}} \DefinirCourbe[Nom=cg,Debut=0.001,Fin=1]<fctg>{-7/8*x^2+x-1/4*x^2*log(x)} \DefinirCourbe[Nom=p,Debut=0.001,Fin=1]<fctp>{-7/8*x^2+x} \TracerIntegrale[Type=fct/fct,Style=hachures,Couleurs=darkgray]{fctg(x)}[fctp(x)]{1/\solalpha}{1} \TracerCourbe[Couleur=blue,Debut=0.001,Fin=1]{fctg(x)} \TracerCourbe[Couleur=red,Debut=0.001,Fin=1]{fctp(x)} \DefinirImage[Nom=IMGg]{fctg}{1/\solalpha} \DefinirImage[Nom=IMGun]{fctg}{1} \draw[thick,darkgray,densely dashed] (IMGg) -- ({1/\solalpha},0) node[below] {$\frac{1}{\alpha}$} ; \draw[thick,darkgray,densely dashed] (IMGun) --(1,0) ; \draw[blue] (0.725,0.333) node[font=\large] {$\mathcal{C}_{g}$} ; \draw[red] (0.725,0.233) node[font=\large] {$\mathcal{P}$} ; \end{GraphiqueTikz} \end{Centrage} On souhaite calculer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine hachuré compris entre les courbes $\mathcal{C}_{g}$ et $\mathcal{P}$, et les droites d'équations $x=\frac{1}{\alpha}$ et $x=1$. On rappelle que $\ln (\alpha)=2(2-\alpha)$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier la position relative des courbes $\mathcal{C}_{g}$ et $\mathcal{P}$ sur l'intervalle $\IntervalleOF{0}{1}$. \item Démontrer l'égalité : \[ \int_{\frac{1}{\alpha}}^{1} x^2\,\ln(x) \dx = \frac{-\alpha^3-6\alpha+13}{9\alpha^3}. \] \end{enumerate} \item En déduire l'expression en fonction de $\alpha$ de l'aire $\mathcal{A}$. \end{enumerate}