% bac2024gen-fr-juin-sujet1-exo3.tex \begin{wrapstuff}[r] \begin{tikzpicture}[scale=0.9] \draw[semithick] (-1.25,0)--(6,0) ; \draw[semithick] (0,-2)--(0,7.25) ; \DefinirPoints{A/5.2,1.4/d B/40:2.2/g C/0,6.8/g H/2.55,0.7/b D/0,-1.7/g} \draw[thick,fill=lightgray!25] (C)--(B)--(H)--(A)--cycle; \draw[thick] (C)--(H) ; \draw[thick,densely dotted] (B)--(A) ; \draw[thick,semithick] (40:-1.4)--(B) (40:4.7)--++(40:1) ; \draw[thick,dashed] (40:4.7)--(B) ; \draw[thick,->,>=latex] (0,0)--++(0.6,0) node[below,font=\small] {$\Vecteur{\imath}$} ; \draw[thick,->,>=latex] (0,0)--++(0,0.6) node[left,font=\small] {$\Vecteur{k}$} ; \draw[thick,->,>=latex] (0,0)--++(40:0.4) node[above,font=\small,inner sep=1pt] {$\Vecteur{\jmath}$} ; \MarquerPoints{A,B,C,H,D} \end{tikzpicture} \end{wrapstuff} L'espace est muni d'un repère orthonormé $\Rijk$. \smallskip On considère les points $A(5;5;0)$, $B(0;5;0)$, $C(0;0;10)$ et $D\left(0;0;-\frac{5}{2}\right)$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $\Vecteur*{n}[1]\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(CAD)$. \item En déduire que le plan $(CAD)$ a pour équation cartésienne : $x-y=0$. \end{enumerate} \item On considère la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique $\begin{dcases} x=\tfrac52t\\y=5-\tfrac52t\\z=0\end{dcases}$ où $t \in \R$. \begin{enumerate} \item On admet que la droite $\mathcal{D}$ et le plan $(CAD)$ sont sécants en un point $H$. Justifier que les coordonnées de $H$ sont $\left(\frac{5}{2};\frac{5}{2};0\right)$. \item Démontrer que le point $H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur le plan $(CAD)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le triangle $ABH$ est rectangle en $H$. \item En déduire que l'aire du triangle $ABH$ est égale à $\frac{25}{4}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que $(CO)$ est la hauteur du tétraèdre $ABCH$ issue de $C$. \item En déduire le volume du tétraèdre $ABCH$. \textit{On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par : $\mathcal{V}=\frac{1}{3} \mathcal{B}h$ où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à cette base.} \end{enumerate} \item On admet que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. Déduire des questions précédentes la distance du point $H$ au plan $(ABC)$. \end{enumerate}