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% bac2024gen-ce-juin-sujet2-exo4.tex \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ par $f(x)=\sqrt{x+1}$. On admet que cette fonction est dérivable sur ce même intervalle. \begin{enumerate} \item Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$. \item Démontrer que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ : \[ f'(x)-x=\frac{-x^2+x+1}{\sqrt{x+1}+1}. \] \item En déduire que sur l’intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ l’équation $f(x)=x$ admet pour unique solution : \[ \ell = \frac{1+\sqrt{5}}{2}. \] \end{enumerate} \smallskip \textbf{Partie B} \medskip On considère la suite $\Suite{u}$ définie par $u_0 = 5$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f\big(u_n\big)$ où $f$ est la fonction étudiée dans la \textbf{partie A}. On admet que la suite de terme général $u_n$ est bien définie pour tout entier naturel $n$. \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$. \item En déduire que la suite $\Suite{u}$ converge. \item Démontrer que la suite $\Suite{u}$ converge vers $\ell = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$. \item On considère le script \textsf{Python} ci-dessous : \begin{CodePythonLstAlt}[Largeur=0.6\linewidth]{center} from math import * def seuil(n) : u = 5 i = 0 ell = (1+sqrt(5))/2 while abs(u - ell) >= 10**(-n) : u = sqrt(u+1) i = i+1 return(i) \end{CodePythonLstAlt} \emph{On rappelle que la commande \textup{\texttt{abs(x)}} renvoie la valeur absolue de \textup{\texttt{x}}}. \begin{enumerate} \item Donner la valeur renvoyée par \texttt{seuil(2)}. \item La valeur renvoyée par \texttt{seuil(4)} est \texttt{9}. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice. \end{enumerate} \end{enumerate}
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