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% bac2024gen-ce-juin-sujet2-exo3.tex Le cube $ABCDEFGH$ a pour arête 1~cm. Le point $I$ est le milieu du segment $[AB]$ et le point $J$ est le milieu du segment $[CG]$. \begin{Centrage} \begin{EnvTikzEspace}[UniteX={0:4cm},UniteZ={90:4cm},UniteY={65:2.4cm}] \PaveTikzTriDim[Cube,Largeur=1,AffLabel] \PlacePointsEspace{I/0.5,0,0/b J/1,1,0.5/d} \MarquePointsEspace[StyleMarque=x]{I,J} \end{EnvTikzEspace} \end{Centrage} On se place dans le repère orthonormé $\left(A;\Vecteur{AB},\Vecteur{AD},\Vecteur{AE}\right)$. \begin{enumerate} \item Donner les coordonnées des points $I$ et $J$. \item Montrer que le vecteur $\Vecteur{EJ}$ est normal au plan $(FHI)$. \item Montrer qu’une équation cartésienne du plan $(FHI)$ est $-2x-2y+z+1=0$. \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(EJ)$. \item \begin{enumerate} \item On note $K$ le projeté orthogonal du point $E$ sur le plan $(FHI)$. Calculer ses coordonnées. \item Montrer que le volume de la pyramide EFHI est $\frac16$~cm\up{3}. \end{enumerate} \emph{On pourra utiliser le point $L$, milieu du segment $[EF]$. On admet que ce point est le projeté orthogonal du point $I$ sur le plan $(EFH)$.} \begin{enumerate}[resume] \item Déduire des deux questions précédentes l’aire du triangle $FHI$. \end{enumerate} \end{enumerate}
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