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% bac2024gen-ce-juin-sujet2-exo2.tex On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $\IntervalleOO{-\infty}{1}$ par $f(x)=\dfrac{\e^x}{x-1}$. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $\IntervalleOO{-\infty}{1}$. On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère. \begin{enumerate}%$\IntervalleOO{-\infty}{1}$ \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en 1. \item En déduire une interprétation graphique. \end{enumerate} \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $\IntervalleOO{-\infty}{1}$, on a $f'(x)=\dfrac{(x-2)\e^x}{(x-1)^2}$. \item Dresser, en justifiant, le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $\IntervalleOO{-\infty}{1}$. \end{enumerate} \item On admet que pour tout réel $x$ de l’intervalle $\IntervalleOO{-\infty}{1}$, on a $f''(x)=\dfrac{\big(x^2-4x+5\big)\e^x}{(x-1)^3}$. \begin{enumerate} \item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l’intervalle $\IntervalleOO{-\infty}{1}$. \item Déterminer l’équation réduite de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse 0. \item En déduire que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $\IntervalleOO{-\infty}{1}$ on a : \begin{Centrage} $\e^x \geqslant (-2x-1)(x-1).$ \end{Centrage} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que l’équation $f(x)=-2$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $\IntervalleOO{-\infty}{1}$. \item À l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $10^{-2}$. \end{enumerate} \end{enumerate}
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