% bac2024gen-ce-juin-sujet1-secours-exo3.tex Un organisme certificateur est missionné pour évaluer deux appareils de chauffage, l’un d’une marque A et l’autre d’une marque B. \begin{Centrage} \textit{Les parties 1 et 2 sont indépendantes.} \end{Centrage} \medskip \textbf{\underline{Partie 1 :} appareil de la marque A} \medskip À l’aide d’une sonde, on a mesuré la température à l’intérieur du foyer d’un appareil de la marque A. On a représenté, ci-dessous, la courbe de la température en degrés Celsius à l’intérieur du foyer en fonction du temps écoulé, exprimé en minutes, depuis l’allumage du foyer. \begin{Centrage} \begin{GraphiqueTikz}[x=0.01cm,y=0.02cm,Xmin=0,Xmax=1200,Xgrille=50,Xgrilles=50,Ymin=0,Ymax=400,Ygrille=25,Ygrilles=25] \TracerAxesGrilles[Police=\small]{0,100,...,1100}{0,50,...,350} \PlacerTexte[Position=below,Police=\large]{(\pflxmax,-25)}{Temps (en min)} \PlacerTexte[Position=above,Police=\large]{(0,\pflymax)}{Température (en °C)} %définition de la fonction + tracé de la courbe \DefinirCourbe[Nom=cf,Debut=0,Fin=1200,Trace,Couleur=red]<f>{20+4.485*x*exp(-0.005*x)} \end{GraphiqueTikz} \end{Centrage} \underline{Par lecture graphique :} \begin{enumerate} \item Donner le temps au bout duquel la température maximale est atteinte à l’intérieur du foyer. \item Donner une valeur approchée, en minutes, de la durée pendant laquelle la température à l’intérieur du foyer dépasse 300°C. \item On note $f$ la fonction représentée sur le graphique. Estimer la valeur de $\dfrac{1}{600} \displaystyle\int_0^{600} f(t) \dx[t]$. Interpréter le résultat. \end{enumerate} \smallskip \textbf{\underline{Partie 2 :} étude d’une fonction} \medskip Soit la fonction $g$ définie sur l’intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ par $g(t)=10t\,\e^{-0,01t}+20$. \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $g$ en $+\infty$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $t \in \IntervalleFO{0}{+\infty}$, $g'(t)=(-0,1t+10)\e^{-0,01t}$. \item Étudier les variations de la fonction $g$ sur $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ et construire son tableau de variations. \end{enumerate} \item Démontrer que l’équation $g(t)=300$ admet exactement deux solutions distinctes sur $\IntervalleFO{0}{+\infty}$. En donner des valeurs approchées à l’unité. \item À l’aide d’une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_0^{600} g(t) \dx[t]$. \end{enumerate} \smallskip \textbf{\underline{Partie 3 :} évaluation} \medskip Pour un appareil de la marque B, la température en degrés Celsius à l’intérieur du foyer $t$ minutes après l’allumage est modélisée sur $\IntervalleFF{0}{600}$ par la fonction $g$. \smallskip L’organisme certificateur attribue une étoile par critère validé parmi les quatre suivants : \begin{itemize} \item Critère 1 : la température maximale est supérieure à 320°C. \item Critère 2 : la température maximale est atteinte en moins de 2 heures. \item Critère 3 : la température moyenne durant les 10 premières heures après l’allumage dépasse 250°C. \item Critère 4 : la température à l’intérieur du foyer ne doit pas dépasser 300°C pendant plus de 5 heures. \end{itemize} Chaque appareil obtient-il exactement trois étoiles ? Justifier votre réponse.