% bac2024gen-ce-juin-sujet1-secours-exo2.tex Au cours d’une séance, un joueur de volley-ball s’entraîne à faire des services. La probabilité qu’il réussisse le premier service est égale à $0,85$. \smallskip On suppose de plus que les deux conditions suivantes sont réalisées : \begin{itemize} \item si le joueur réussit un service, alors la probabilité qu’il réussisse le suivant est égale à $0,6$ ; \item si le joueur ne réussit pas un service, alors la probabilité qu’il ne réussisse pas le suivant est égale à $0,6$. \end{itemize} Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $R_n$ l’évènement « le joueur réussit le $n$-ième service » et $\overline{R_n}$ l’évènement contraire. \bigskip \textbf{\underline{Partie A :}} \medskip On s’intéresse aux deux premiers services de l’entraînement. \begin{enumerate} \item Représenter la situation par un arbre pondéré. \item Démontrer que la probabilité de l’événement $R_2$ est égale à $0,57$. \item Sachant que le joueur a réussi le deuxième service, calculer la probabilité qu’il ait raté le premier. \item Soit $Z$ la variable aléatoire égale au nombre de services réussis au cours des deux premiers services. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de $Z$ (on pourra utiliser l’arbre pondéré de la question 1). \item Calculer l’espérance mathématique $\Esper{Z}$ de la variable aléatoire $Z$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice. \end{enumerate} \end{enumerate} \smallskip \textbf{\underline{Partie B :}} \medskip On s’intéresse maintenant au cas général. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $x_n$ la probabilité de l’évènement $R_n$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner les probabilités conditionnelles $P_{R_n} \big(R_{n+1}\big)$ et $P_{\overline{R_n}} \big(\overline{R_{n+1}}\big)$. \item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, on a : $x_{n+1}=0,2x_n+0,4$. \end{enumerate} \item Soit la suite $\Suite{u}$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $u_n = x_n - 0,5$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\Suite{u}$ est une suite géométrique. \item Déterminer l’expression de $x_n$ en fonction de $n$. En déduire la limite de la suite $\Suite{x}$. \item Interpréter cette limite dans le contexte de l’exercice. \end{enumerate} \end{enumerate}