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% bac2024gen-ce-juin-sujet1-exo2.tex On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\IntervalleFF{0}{1}$ par $f(x)=2x\,\e^{-x}$. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $\IntervalleFF{0}{1}$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre sur l'intervalle $\IntervalleFF{0}{1}$ l'équation $f(x)=x$. \item Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\IntervalleFF{0}{1}$, $f'(x)=2(1-x)\e^{-x}$. \item Donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\IntervalleFF{0}{1}$. \end{enumerate} \end{enumerate} On considère la suite $\Suite{u}$ définie par $u_0=0,1$ et pour tout entier naturel $n$, \[ u_{n+1}=f\big(u_n\big).\] \begin{enumerate}[resume] \item \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que, pour tout $n$ entier naturel, $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1$. \item En déduire que la suite $\Suite{u}$ est convergente. \end{enumerate} \item Démontrer que la limite de la suite $\Suite{u}$ est $\ln(2)$. \item \begin{enumerate} \item Justifier que pour tout entier naturel $n$, $\ln(2)-u_n$ est positif. \item On souhaite écrire un script \textsf{Python} qui renvoie une valeur approchée de $\ln(2)$ par défaut à $10^{-4}$ près, ainsi que le nombre d'étapes pour y parvenir. Recopier et compléter le script ci-dessous afin qu'il réponde au problème posé. \begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=0.5\linewidth]{center} def seuil() : n = 0 u = 0.1 while ln(2) - u ... 0.0001 : n = n+1 u = ... return (u, n) \end{CodePythonLstAlt} \item Donner la valeur de la variable \texttt{n} renvoyée par la fonction \texttt{seuil()}. \end{enumerate} \end{enumerate}
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