% bac2024gen-asie-juin-sujet1-exo2.tex \begin{wrapstuff}[r] \begin{tikzpicture} \coordinate (A) at (0,0) ; \coordinate (C) at (3,0) ; \coordinate (S) at (60:2) ; \coordinate (B) at (-140:1.6) ; \coordinate (D) at (-95:2.4) ; \draw[semithick,line join=bevel] (B)--(S)--(C)--(D)--cycle (S)--(D) ; \draw[semithick,dashed,line join=bevel] (B)--(A)--(S) (A)--(C) ; \draw (A) node[below] {$A$} (B) node[left] {$B$} (C) node[right] {$C$} (D) node[below] {$D$} (S) node[above] {$S$} ; \end{tikzpicture} \end{wrapstuff} Dans l’espace muni d’un repère orthonormé $\Rijk$ d’unité 1~cm, on considère les points : \begin{Centrage} $A(3;-1;1)$ ; $B(4;-1;0)$ ; $C(0;3;2)$ ; $D(4;3;-2)$ et $S(2;1;4)$. \end{Centrage} Dans cet exercice on souhaite montrer que $SABDC$ est une pyramide à base $ABDC$ trapézoïdale de sommet $S$, afin de calculer son volume. \begin{enumerate} \item Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés. \item \begin{enumerate} \item Montrer que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont coplanaires. \item Montrer que le quadrilatère $ABDC$ est un trapèze de bases $[AB]$ et $[CD]$. \emph{On rappelle qu’un trapèze est un quadrilatère ayant deux côtés opposés parallèles appelés bases.} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le vecteur $\Vecteur{n}\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$. \item En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$. \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par le point $S$ et orthogonale au plan $(ABC)$. \item On note $I$ le point d’intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(ABC)$. Montrer que le point $I$ a pour coordonnées $\left(\dfrac23;\dfrac13;\dfrac83\right)$, puis montrer que $SI = 2$~cm. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que le projeté orthogonal $H$ du point $B$ sur la droite $(CD)$ a pour coordonnées $H(3;3;-1)$ et montrer que $HB = 3\sqrt{2}$~cm. \item Calculer la valeur exacte de l’aire du trapèze $ABDC$. On rappelle que l’aire d’un trapèze est donnée par la formule \[ \mathcal{A} = \frac{b+B}{2} \times h \] où $b$ et $B$ sont les longueurs des bases du trapèze et $h$ sa hauteur. \end{enumerate} \item Déterminer le volume de la pyramide $SABDC$. On rappelle que le volume V d’une pyramide est donné par la formule \[ \mathcal{V} = \frac13 \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}. \] \end{enumerate}