% bac2024gen-asie-juin-sujet1-exo1.tex \textbf{Partie A} \medskip On considère une fonction $f$ définie sur $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ représentée par la courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous. La droite $T$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $A$ d’abscisse $\frac52$. \begin{Centrage} \begin{GraphiqueTikz}[x=2cm,y=1cm,Xmin=0,Xmax=5.5,Xgrille=0.5,Ymin=-5,Ymax=5.5,Xgrilles=0.1,Ygrille=1,Ygrilles=0.2] \TracerAxesGrilles{0.5,1,...,5}{-5,-4,...,5} \TracerCourbe[Couleur=red]{(4*x-2)*exp(-x+1)} \TracerCourbe[Couleur=blue]{(-4*2.5+6)*exp(-2.5+1)*(x-2.5)+(4*2.5-2)*exp(-2.5+1)} \DefinirPts{A/{2.5}/{(4*2.5-2)*exp(-2.5+1)}} \MarquerPts[Couleur=darkgray,Style=x,Taillex=3pt]{(A)/A/above right} \PlacerTexte[Couleur=red,Police=\large]{(0.5,-2)}{$\mathcal{C}$} \PlacerTexte[Couleur=blue,Police=\large]{(0.5,4)}{$T$} %\draw[blue] (0.5,4) node[font=\large] {$T$} ; \end{GraphiqueTikz} \end{Centrage} \begin{enumerate} \item Dresser, par lecture graphique, le tableau des variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $\IntervalleFF{0}{5}$. \item Que semble présenter la courbe $\mathcal{C}$ au point $A$ ? \item La dérivée $f'$ et la dérivée seconde $f''$ de la fonction $f$ sont représentées par les courbes ci-dessous. Associer à chacune de ces deux fonctions la courbe qui la représente. Ce choix sera justifié. \end{enumerate} \begin{Centrage} \begin{GraphiqueTikz}[x=1cm,y=0.2cm,Xmin=0,Xmax=5.5,Xgrille=0.5,Ymin=-26,Ymax=1,Xgrilles=0.5,Ygrille=2,Ygrilles=2] \TracerAxesGrilles[Police=\small]{0.5,1,...,5}{-26,-24,...,0} \TracerCourbe[Couleur=purple]{(4*x-10)*exp(-x+1)} \draw[purple] (0.5,-20) node {$\mathcal{C}_1$} ; \end{GraphiqueTikz} \hspace*{5mm} \begin{GraphiqueTikz}[x=1cm,y=0.3cm,Xmin=0,Xmax=5.5,Xgrille=0.5,Ymin=-2,Ymax=16,Xgrilles=0.5,Ygrille=2,Ygrilles=2] \TracerAxesGrilles[Police=\small]{0.5,1,...,5}{-2,0,...,14} \TracerCourbe[Couleur=teal]{(-4*x+6)*exp(-x+1)} \draw[teal] (0.5,12) node {$\mathcal{C}_2$} ; \end{GraphiqueTikz} \end{Centrage} \begin{enumerate}[resume] \item La courbe $\mathcal{C}_3$ ci-dessous peut-elle être la représentation graphique sur $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ d’une primitive de la fonction $f$ ? Justifier. \end{enumerate} \begin{Centrage} \begin{GraphiqueTikz}[x=1cm,y=0.5cm,Xmin=0,Xmax=5.5,Xgrille=0.5,Ymin=0,Ymax=7.5,Xgrilles=0.5,Ygrille=1,Ygrilles=1] \TracerAxesGrilles[Police=\small]{0,0.5,...,5}{0,2,...,6} \TracerCourbe[Couleur=violet]{-2*(-2*x-1)*exp(-x+1)} \draw[violet] (2,5) node {$\mathcal{C}_3$} ; \end{GraphiqueTikz} \end{Centrage} \smallskip \textbf{Partie B} \medskip Dans cette partie, on considère que la fonction $f$, définie et deux fois dérivable sur $\IntervalleFO{0}{+\infty}$, est définie par \[ f(x)=(4x-2)\e^{-x+1}. \] % On notera respectivement $f'$ et $f''$ la dérivée et la dérivée seconde de la fonction $f$. \begin{enumerate} \item Étude de la fonction $f$ \begin{enumerate} \item Montrer que $f'(x) = (-4x +6)\e^{-x+1}$. \item Utiliser ce résultat pour déterminer le tableau complet des variations de la fonction $f$ sur $\IntervalleFO{0}{+\infty}$. On admet que $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=0$. \item Étudier la convexité de la fonction $f$ et préciser l’abscisse d’un éventuel point d’inflexion de la courbe représentative de $f$. \end{enumerate} \item On considère une fonction $F$ définie sur $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ par $F(x) = (ax +b)\e^{-x+1}$, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels. \begin{enumerate} \item Déterminer les valeurs des réels $a$ et $b$ telles que la fonction $F$ soit une primitive de la fonction $f$ sur $\IntervalleFO{0}{+\infty}$. \item On admet que $F(x) = (-4x - 2)\e^{-x+1}$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\IntervalleFO{0}{+\infty}$. En déduire la valeur exacte, puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près, de l’intégrale \[ I = \int_{\frac32}^8 f(x)\dx.\] \end{enumerate} \item Une municipalité a décidé de construire une piste de trottinette freestyle. Le profil de cette piste est donné par la courbe représentative de la fonction $f$ sur l’intervalle $\IntervalleFF{\frac32}{8}$. L’unité de longueur est le mètre. \begin{Centrage} \begin{GraphiqueTikz}[x=1cm,y=1.5cm,Origx=1.5,Xmin=1.5,Xmax=8,Xgrille=0.5,Ymin=0,Ymax=2.5,Xgrilles=0.5,Ygrille=2,Ygrilles=2] \tikzset{pflaxes/.style={line width=0.8pt}} \TracerAxesGrilles[Grille=false,Police=\small]{1.5,2,...,8}{} \TracerCourbe[Couleur=gray]{(4*x-2)*exp(-x+1)} \draw[gray] (1.5,{(4*1.5-2)*exp(-1.5+1)}) node[left] {$D$} ; \end{GraphiqueTikz} \end{Centrage} \begin{enumerate} \item Donner une valeur approchée au cm près de la hauteur du point de départ D. \item La municipalité a organisé un concours de graffiti pour orner le mur de profil de la piste. L’artiste retenue prévoit de couvrir environ 75\,\% de la surface du mur. Sachant qu’une bombe aérosol de 150~mL permet de couvrir une surface de $0,8$~m\up{2}, déterminer le nombre de bombes qu’elle devra utiliser pour réaliser cette œuvre. \end{enumerate} \end{enumerate}