% bac2024gen-amsud-novembre-sujet2-exo3.tex \textbf{Partie 1} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par : \[ f(x)=\left(x^{2}-4\right) e^{-x}. \] % On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$. \item Justifier que pour tout réel $x$, $f'(x)=\left(-x^{2}+2 x+4\right)\,\e^{-x}$. \item En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\R$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie 2} \medskip On considère la suite $\Suite{I}$ définie pour tout entier naturel $n$ par $I_{n}=\int_{-2}^{0} x^{n}\,\e^{-x} \dx$. \begin{enumerate} \item Justifier que $I_{0}=\e^{2}-1$. \item En utilisant une intégration par partie, démontrer l'égalité : \[ I_{n+1}=(-2)^{n+1}\,\e^{2}+(n+1) I_{n}. \] \item En déduire les valeurs exactes de $I_{1}$ et de $I_{2}$. \end{enumerate} \medskip \begin{wrapstuff}[r] \begin{GraphiqueTikz}% [x=0.33cm,y=0.33cm,Xmin=-4,Xmax=6,Ymin=-9,Ymax=4] \DefinirCourbe[Nom=cf,Debut=-4,Fin=10]<f>{(x^2-4)*exp(-x)} \TracerIntegrale[Type=fct,Style=hachures,Couleurs=orange]{f(x)}{-2}{0} \TracerAxesGrilles[Grille=false]{}{} \TracerCourbe[Couleur=blue]{f(x)} \draw[pflaxes] (0,0)--++(1,0) node[below,midway,font=\tiny] {$\Vecteur{\imath}$} ; \draw[pflaxes] (0,0)--++(0,1) node[left,midway,font=\tiny] {$\Vecteur{\jmath}$} ; \PlacerTexte[Police=\small]{(-3,1)}{$\mathcal{C}_{f}$} \PlacerTexte[Police=\tiny,Position=below left]{(0,0)}{$O$} \PlacerTexte[Police=\small]{(-1,-4)}{$\bm{D}$} \end{GraphiqueTikz} \end{wrapstuff} \textbf{Partie 3} \smallskip \begin{enumerate} \item Déterminer le signe sur $\R$ de la fonction $f$ définie dans la \textbf{partie 1}. \item On a représenté ci-contre la courbe $\mathcal{C}_{f}$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $\Rij$. \smallskip Le domaine $\bm{D}$ du plan hachuré ci-contre est délimité par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées. Calculer la valeur exacte, en unité d'aire, de l'aire $S$ du domaine $\bm{D}$. \end{enumerate}