% bac2024gen-amsud-novembre-sujet1-exo2.tex On dispose de deux urnes opaques $U_1$ et $U_2$. L’urne $U_1$ contient 4 boules noires et 6 boules blanches. L’urne $U_2$ contient 1 boule noire et 3 boules blanches. \smallskip On considère l’expérience aléatoire suivante. On pioche au hasard une boule dans $U_1$ que l’on place dans $U_2$, puis on pioche au hasard une boule dans $U_2$. \smallskip On note : \begin{itemize} \item $N_1$ l’évènement « Piocher une boule noire dans l’urne $U_1$ » ; \item $N_2$ l’évènement « Piocher une boule noire dans l’urne $U_2$ ». \end{itemize} Pour tout évènement $A$, on note $\overline{A}$ son évènement contraire. \medskip \textbf{PARTIE A} \smallskip \begin{enumerate} \item On considère l’arbre de probabilités ci-contre. \begin{wrapstuff}[r,abovesep=-0.5\baselineskip] \def\ArbreDeuxDeux{ $N_1$//above, $N_2$//above, $\overline{N_2}$//above, $\overline{N_1}$//above, $N_2$/\num{0.2}/, $\overline{N_2}$//above } \ArbreProbasTikz[EspaceNiveau=2.25]{\ArbreDeuxDeux} \end{wrapstuff} \begin{enumerate} \item Justifier que la probabilité de piocher une boule noire dans l’urne $U_2$ sachant qu’on a pioché une boule blanche dans l’urne $U_1$ est $0,2$. \item Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-contre, en faisant apparaître sur chaque branche les probabilités des évènements concernés, sous forme décimale. \end{enumerate} \item Calculer la probabilité de piocher une boule noire dans l’urne $U_1$ et une boule noire dans l’urne $U_2$. \item Justifier que la probabilité de piocher une boule noire dans l’urne $U_2$ est égale à $0,28$. \item On a pioché une boule noire dans l’urne $U_2$. Calculer la probabilité d’avoir pioché une boule blanche dans l’urne $U_1$. On donnera le résultat sous forme décimale arrondie à $10^{-2}$. \end{enumerate} \smallskip \textbf{PARTIE B} \medskip $n$ désigne un entier naturel non nul. L’expérience aléatoire précédente est répétée n fois de façon identique et indépendante, c’est-à-dire que les urnes $U_1$ et $U_2$ sont remises dans leur configuration initiale, avec respectivement 4 boules noires et 6 boules blanches dans l’urne $U_1$ et 1 boule noire et 3 boules blanches dans l’urne $U_2$, entre chaque expérience. \smallskip On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où on pioche une boule noire dans l’urne $U_2$. \smallskip On rappelle que la probabilité de piocher une boule noire dans l’urne $U_2$ est égale à $0,28$ et celle de piocher une boule blanche dans l’urne $U_2$ est égale à $0,72$. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité suivie par $X$. Justifier votre réponse. \item Déterminer par le calcul le plus petit entier naturel $n$ tel que : $1-0,72^n \geqslant 0,9$. \item Interpréter le résultat précédent dans le contexte de l’expérience. \end{enumerate} \smallskip \textbf{PARTIE C} \medskip Dans cette partie les urnes $U_1$ et $U_2$ sont remises dans leur configuration initiale, avec respectivement 4 boules noires et 6 boules blanches dans l’urne $U_1$ et 1 boule noire et 3 boules blanches dans l’urne $U_2$. \smallskip On considère la nouvelle expérience aléatoire suivante. On pioche simultanément deux boules dans l’urne $U_1$ que l’on place dans l’urne $U_2$, puis on pioche au hasard une boule dans l’urne $U_2$. \begin{enumerate} \item Combien y a-t-il de tirages possibles de deux boules simultanément dans l’urne $U_1$ ? \item Combien y a-t-il de tirages possibles de deux boules simultanément dans l’urne $U_1$ contenant exactement une boule blanche et une boule noire ? \item La probabilité de piocher une boule noire dans l’urne $U_2$ avec cette nouvelle expérience est- elle supérieure à la probabilité de tirer une boule noire dans l’urne $U_2$ avec l’expérience de la \textbf{partie A} ? Justifier votre réponse. \textit{On pourra s’aider d’un arbre pondéré modélisant cette expérience.} \end{enumerate}