% bac2024gen-amsud-novembre-sujet1-exo1.tex %script python \begin{scontents}[overwrite,write-out=as2024j1exo1.py] from math import exp def f(x) : return (20*x+8)*exp(-1/4*x) def solution_equation() : a, b = 14, 15 while b-a > 0.1 : m = (a+b) / 2 if f(m) > 8 : a = m else : b = m return a, b \end{scontents} \textbf{PARTIE A} \medskip On considère l’équation différentielle \[ \big(E\big)\::\:y'+\frac14y=20\e^{-\frac14x}, \] % d’inconnue $y$, fonction définie et dérivable sur l’intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$. \begin{enumerate} \item Déterminer la valeur du réel $a$ tel que la fonction $g$ définie sur l’intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ par $g(x) = ax\e^{-\frac14x}$ soit une solution particulière de l’équation différentielle $\big(E\big)$. \item On considère l’équation différentielle \[ \big(E'\big)\::\:y'+\frac14y=0, \] % d’inconnue y, fonction définie et dérivable sur l’intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$. Déterminer les solutions de l’équation différentielle $\big(E'\big)$. \item En déduire les solutions de l’équation différentielle $\big(E\big)$. \item Déterminer la solution $f$ de l’équation différentielle $\big(E\big)$ telle que $f(0) = 8$. \end{enumerate} \smallskip \textbf{PARTIE B} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ par \[ f(x)=(20x+8)\e^{-\frac14x}. \] % On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée sur l’intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$. De plus, on admet que $\lim\lim\limits_{x\to+\infty} f (x) = 0$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que, pour tout réel $x$ positif, \[ f'(x)= (18x-5)\e^{-\frac14x}. \] \item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$. On précisera la valeur exacte du maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$. \end{enumerate} \item Dans cette question on s’intéresse à l’équation $f (x) = 8$. \begin{enumerate} \item Justifier que l’équation $f (x) = 8$ admet une unique solution, notée $\alpha$, dans l’intervalle $\IntervalleFF{14}{15}$. \item Recopier et compléter le tableau ci-dessous en faisant tourner étape par étape la fonction, écrite en langage \textsf{Python}, \texttt{solution\_equation} ci-contre. \begin{minipage}{0.45\linewidth} \begin{tblr}{width=0.975\linewidth,hlines,vlines,colspec={Q[c,m]c*{4}{X[m,c]}}, cell{Y-Z}{Z}={gray}} $a$ &14 &&&&\\ $b$ &15 &&&&\\ $b-a$ &1 &&&&\\ $m$ &$14,5$ &&&&\\ {Condition\\$f(m)<8$}&FAUX&&&&\\ \end{tblr} \end{minipage} \begin{minipage}{0.55\linewidth} \CodePythonLstFichierAlt*[0.75\linewidth]{center}{as2024j1exo1.py} \end{minipage} \medskip \item Quel est l’objectif de la fonction \texttt{solution\_equation} dans le contexte de la question ? \end{enumerate} \end{enumerate}