% bac2024gen-amnord-mai-sujet2-exo4.tex Soit $a$ un réel strictement positif. On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ par $f(x) = a\, \ln(x)$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé. Soit $x_0$ un réel strictement supérieur à 1. \begin{enumerate} \item Déterminer l'abscisse du point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de l'axe des abscisses. \item Vérifier que la fonction $F$ définie par $F(x) = a(x\,\ln(x) - x)$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$. \item En déduire l'aire du domaine grisé en fonction de $a$ et de $x_0$. \end{enumerate} \begin{Centrage} \begin{tikzpicture}[x=1.75cm,y=1.75cm,xmin=-1,xmax=5.5,ymin=-1,ymax=2.5] \fill[semithick,draw=blue,fill=cyan!50] plot[samples=250,domain=1:1.85] (\x,{ln(\x)}) -- (1.85,0)--cycle ; \AxesTikz\AxexTikz{1} \draw (0,0) node[below right] {$O$} ; \draw (\xmax,0) node[below left] {$x$} ; \draw (0,\ymax) node[below left] {$y$} ; \draw (1.85,0) node[below] {$x_0$} ; \draw[red] (5,1.5) node[below] {$\mathcal{C}$} ; \FenetreTikz \CourbeTikz[thick,red,samples=250]{ln(\x)}{0.1:5.5} \end{tikzpicture} \end{Centrage} On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $M$ d'abscisse $x_0$.. On appelle $A$ le point d'intersection de la tangente $T$ avec l'axe des ordonnées et $B$ le projeté orthogonal de $M$ sur l'axe des ordonnées. \begin{Centrage} \begin{tikzpicture}[x=1.75cm,y=1.75cm,xmin=-1,xmax=5.5,ymin=-1,ymax=2.5] \AxesTikz\AxexTikz{1} \draw (0,0) node[below right] {$O$} ; \draw (\xmax,0) node[below left] {$x$} ; \draw (0,\ymax) node[below left] {$y$} ; \draw (1.85,0) node[below] {$x_0$} ; \draw[red] (5,1.5) node[below] {$\mathcal{C}$} ; \draw[blue] (-0.75,-0.5) node[below] {$T$} ; \draw (0,{1*ln(1.85)}) node[above left] {$B$} ; \draw (0,{1*ln(1.85)}) rectangle++ (3pt,-3pt) ; \draw[dashed] (1.85,0) --++ (0,{1*ln(1.85)}); \FenetreTikz \CourbeTikz[thick,red,samples=250]{ln(\x)}{0.1:5.5} \CourbeTikz[thick,blue,samples=2]{1/1.85*(\x-1.85)+1*ln(1.85)}{\xmin:\xmax} \CourbeTikz[thick,olive,samples=2]{1*ln(1.85)}{\xmin:\xmax} \draw[semithick] (1.85,{1*ln(1.85)}) pic{PLdotcross=3pt/0} node[above] {$M$} ; \draw[semithick] (0,{-1+ln(1.85)}) pic{PLdotcross=3pt/0} node[below right] {$A$} ; \end{tikzpicture} \end{Centrage} \begin{enumerate}[resume] \item Démontrer que la longueur $AB$ est égale à une constante (c'est-à-dire à un nombre qui ne dépend pas de $x_0$) que l'on déterminera. \textit{Le candidat prendra soin d'expliciter sa démarche.} \end{enumerate}