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% bac2024gen-amnord-mai-sujet2-exo3.tex On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\intervFF{0}{1}$ par $g(x)= 2x - x^2$. \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $g$ est strictement croissante sur l'intervalle $\intervFF{0}{1}$ et préciser les valeurs de $g(0)$ et de $g(1)$. \end{enumerate} On considère la suite $\suiten$ définie par $\begin{dcases} u_0=\tfrac12 \\ u_{n+1}=g\big(u_n\big)\end{dcases}$ pour tout entier naturel $n$. \begin{enumerate}[resume] \item Calculer $u_1$ et $u_2$. \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $0 < u_n < u_{n+1} < 1$. \item En déduire que la suite $\suiten$ est convergente. \item Déterminer la limite $\ell$ de la suite $\suiten$. \end{enumerate} On considère la suite $\suiten[v]$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = \ln(1-u_n)$. \begin{enumerate}[resume] \item Démontrer que la suite $\suiten[v]$ est une suite géométrique de raison 2 et préciser son premier terme. \item En déduire une expression de $v_n$ en fonction de $n$. \item En déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$ et retrouver la limite déterminée à la question 5. \item Recopier et compléter le script \texttt{Python} ci-dessous afin que celui-ci renvoie le rang \texttt{n} à partir duquel la suite dépasse 0,95. \begin{CodePythonLstAlt}[Largeur=0.5\linewidth]{center} def seuil() : n = 0 u = 0.5 while u < 0.95 : n = ...... u = ...... return n \end{CodePythonLstAlt} \end{enumerate}
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