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% bac2024gen-amnord-mai-sujet1-exo4.tex Pour tout entier naturel $n$, on considère les intégrales suivantes : \[ I_n = \int_0^{\pi} \e^{-nx}\,\sin(x) \dx \] \[J_n = \int_0^{\pi} \e^{-nx}\,\cos(x) \dx \] \begin{enumerate} \item Calculer $I_0$. \item \begin{enumerate} \item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on $I_n \geqslant 0$. \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $I_{n+1}-I_n \leqslant 0$. \item Déduire des deux questions précédentes que la suite $\suiten[I]$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : \[ I_n \leqslant \int_0^{\pi} \e^{-nx} \dx. \] \item Montrer que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a : \[ \int_0^{\pi} \e^{-nx} \dx = \frac{1-\e^{-n\pi}}{n}. \] \item Déduire des deux questions précédentes la limite de la suite $\suiten[I]$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item En intégrant par parties l'intégrale $I_n$ de deux façons différentes, établir les deux relations suivantes, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ : \[ I_n = 1+\e^{-n\pi} - n\,J_n \qquad \text{et} \qquad I_n = \frac{1}{n} J_n. \] \item En déduire que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a $I_n = \dfrac{1+\e^{-n\pi}}{n^2+1}$. \end{enumerate} \item On souhaite obtenir le rang \texttt{n} à partir duquel la suite $\suiten[I]$ devient inférieure à $0,1$. Recopier et compléter la cinquième ligne du script \texttt{Python} ci-dessous avec la commande appropriée. \begin{CodePythonLstAlt}[Largeur=0.75\linewidth]{center} from math import * def seuil() : n = 0 I = 2 ......... n = n+1 I = (1+exp(-n*pi))/(n*n+1) return n \end{CodePythonLstAlt} \end{enumerate}
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