% bac2024gen-amnord-mai-sujet1-exo3.tex Le but de cet exercice est d'étudier la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ par : \[ f(x)=x\,\ln{\big(x^2\big)}-\frac1x. \] \textbf{\large\underline{Partie A : lectures graphiques}} \medskip On a tracé ci-dessous la courbe représentative $\left(C_f\right)$ de la fonction $f$, ainsi que la droite $(T)$, tangente à la courbe $\left(C_f\right)$ au point $A$ de coordonnées $(1;-1)$. Cette tangente passe également par le point $B(0;-4)$. \begin{Centrage} \begin{tikzpicture}[x=2cm,y=0.5cm,xmin=0,xmax=4,xgrille=1,ymin=-7,ymax=7,ygrille=1] \FenetreSimpleTikz(ElargirOx=0,ElargirOy=0)<HautGrad=1.5pt>{1,2,3}<HautGrad=1.5pt>{-6,-5,...,6} \begin{scope} \FenetreTikz \draw[line width=1.1pt,red,samples=250,domain=0.05:4] plot (\x,{\x*ln((\x)^2)-1/(\x)}) ; \draw[line width=1.1pt,blue,samples=2,domain=0:4] plot (\x,{3*\x-4}) ; \end{scope} \draw[line width=0.8pt] (0,-4) circle[radius=1.75pt] node[below right] {$B$} ; \draw[line width=0.8pt] (1,-1) circle[radius=1.75pt] node[below right] {$A$} ; \draw (2.25,4.5) node[red] {$\left(C_f\right)$} ; \draw (2.75,3.5) node[blue] {$(T)$} ; \end{tikzpicture} \end{Centrage} \begin{enumerate} \item Lire graphiquement $f'(1)$ et donner l'équation réduite de la tangente $(T)$. \item Donner les intervalles sur lesquels la fonction $f$ semble convexe ou concave. Que semble représenter le point A pour la courbe $\left(C_f\right)$ ? \end{enumerate} \textbf{\large\underline{Partie A : étude analytique}} \smallskip \begin{enumerate} \item Déterminer, en justifiant, la limite de $f$ en $+\infty$, puis sa limite en 0. \item On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$. \begin{enumerate} \item Déterminer $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$. \item Montrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$, \[ f''(x) = \frac{2(x+1)(x-1)}{x^3}. \] \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$. \item Étudier les variations de la fonction $f'$, puis le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$. En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$. \item Donner la valeur arrondie au centième de $\alpha$ et montrer que $\alpha$ vérifie : \[ \alpha^2 = \text{exp}{\left(\frac{1}{\alpha^2}\right)} \] \end{enumerate} \end{enumerate}