% bac2024gen-amnord-mai-sujet1-exo1.tex Un jeu vidéo récompense par un objet tiré au sort les joueurs ayant remporté un défi. L'objet tiré peut être « commun » ou « rare ». Deux types d'objets communs ou rares sont disponibles, des épées et des boucliers. \smallskip Les concepteurs du jeu vidéo ont prévu que : \begin{itemize} \item la probabilité de tirer un objet rare est de 7\,\% ; \item si on tire un objet rare, la probabilité que ce soit une épée est de 80\,\% ; \item si on tire un objet commun, la probabilité que ce soit une épée est de 40\,\%. \end{itemize} \textit{Les parties A et B sont indépendantes.} \medskip \textbf{\large\underline{Partie A}} \medskip Un joueur vient de remporter un défi et tire au sort un objet. On note: \begin{itemize} \item $R$ l'événement « le joueur tire un objet rare » ; \item $E$ l'événement « le joueur tire une épée » ; \item $\overline{R}$ et $\overline{E}$ les événements contraires des événements $R$ et $E$. \end{itemize} \begin{enumerate} \item Dresser un arbre pondéré modélisant la situation, puis calculer $P(R \cap E)$. \item Calculer la probabilité de tirer une épée. \item Le joueur a tiré une épée. Déterminer la probabilité que ce soit un objet rare. Arrondir le résultat au millième. \end{enumerate} \textbf{\large\underline{Partie B}} \medskip Un joueur remporte 30 défis. On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre d'objets rares que le joueur obtient après avoir remporté 30 défis. Les tirages successifs sont considérés comme indépendants. \begin{enumerate} \item Déterminer, en justifiant, la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$. Préciser ses paramètres, ainsi que son espérance. \item Déterminer $P(X < 6)$. \textit{Arrondir le résultat au millième.} \item Déterminer la plus grande valeur de $k$ telle que $P(X \geqslant k) \geqslant 0,5$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. \item Les développeurs du jeu vidéo veulent proposer aux joueurs d'acheter un « ticket d'or » qui permet de tirer $N$ objets. La probabilité de tirer un objet rare reste de 7\,\%. Les développeurs aimeraient qu'en achetant un ticket d'or, la probabilité qu'un joueur obtienne au moins un objet rare lors de ces $N$ tirages soit supérieure ou égale à $0,95$. Déterminer le nombre minimum d'objets à tirer pour atteindre cet objectif. \textit{On veillera à détailler la démarche mise en œuvre.} \end{enumerate}