% bac2024gen-all-mars-sujet0-exo3.tex Dans un examen, une épreuve notée sur dix points est constituée de deux exercices : le premier est noté sur deux points, le deuxième sur huit points. \medskip \textbf{\large Partie I} \medskip Le premier exercice est constitué de deux questions Q1 et Q2. \smallskip Chaque question est notée sur un point. Une réponse correcte rapporte un point ; une réponse incorrecte, incomplète ou une absence de réponse rapporte zéro point. \smallskip On considère que : \begin{itemize} \item Un candidat pris au hasard a une probabilité $0,8$ de répondre correctement à la question Q1. \item Si le candidat répond correctement à Q1, il a une probabilité $0,6$ de répondre correctement à Q2 ; s’il ne répond pas correctement à Q1, il a une probabilité $0,1$ de répondre correctement à Q2. \end{itemize} On prend un candidat au hasard et on note : \begin{itemize} \item $A$ l’événement : « le candidat répond correctement à la question Q1 » ; \item $B$ l’événement : « le candidat répond correctement à la question Q2 ». \end{itemize} On note $\overline{A}$ et $\overline{B}$ les événements contraires de $A$ et de $B$. \begin{enumerate} \item Recopier et compléter les pointillés de l’arbre pondéré ci-dessous. \begin{center} \ArbreProbasTikz{$A$/\ldots/above,$B$/\ldots/above,$\overline{B}$/\ldots/below, $\overline{A}$/\ldots/below,$B$/\ldots/above,$\overline{B}$/\ldots/below} \end{center} \item Calculer la probabilité que le candidat réponde correctement aux deux questions Q1 et Q2. \item Calculer la probabilité que le candidat réponde correctement à la question Q2. \end{enumerate} On note : \begin{itemize} \item $X_1$ la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à la question Q1 ; \item $X_2$ la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à la question Q2 ; \item $X$ la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à l’exercice, c’est-à-dire $X=X_1+X_2$. \end{itemize} \begin{enumerate}[resume] \item Déterminer l’espérance de $X_1$ et de $X_2$. En déduire l’espérance de $X$. Donner une interprétation de l’espérance de $X$ dans le contexte de l’exercice. \item On souhaite déterminer la variance de $X$. \begin{enumerate} \item Déterminer $P(X=0)$ et $P(X=2)$. En déduire $P(X=1)$. \item Montrer que la variance de $X$ vaut $0,57$. \item A-t-on $\Varianc{X} = \Varianc{X_1} + \Varianc{X_2}$ ? Est-ce surprenant ? \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{\large Partie II} \medskip Le deuxième exercice est constitué de huit questions indépendantes. \smallskip Chaque question est notée sur un point. Une réponse correcte rapporte un point ; une réponse incorrecte et une absence de réponse rapporte zéro point. \smallskip Les huit questions sont de même difficulté : pour chacune des questions, un candidat a une probabilité $\nicefrac{3}{4}$ de répondre correctement, indépendamment des autres questions. \smallskip On note $Y$ la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note au deuxième exercice, c’est-à-dire le nombre de bonnes réponses. \begin{enumerate} \item Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. \item Donner la valeur exacte de $P(Y=8)$. \item Donner l’espérance et la variance de $Y$.. \end{enumerate} \medskip \textbf{\large Partie III} \medskip On suppose que les deux variables aléatoires $X$ et $Y$ sont indépendantes. On note la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note totale à l’examen : $Z=X+Y$. \begin{enumerate} \item Calculer l’espérance et la variance de $Z$. \item Soit $n$ un nombre entier strictement positif. Pour $i$ entier variant de 1 à $n$, on note $Z_i$ la variable aléatoire qui, à un échantillon de $n$ élèves, associe la note de l’élève numéro $i$ à l’examen. On admet que les variables aléatoires $Z_1$, $Z_2$, \ldots, $Z_n$ sont identiques à $Z$ et indépendantes. \smallskip On note $M_n$ la variable aléatoire qui, à un échantillon de $n$ élèves, associe la moyenne de leurs $n$ notes, c’est-à-dire \[ M_n = \frac{Z_1+Z_2+\ldots+Z_n}{n}. \] \begin{enumerate} \item Quelle est l’espérance de $M_n$ ? \item Quelles sont les valeurs de $n$ telles que l’écart type de $M_n$ soit inférieur ou égal à $0,5$ ? \item Pour les valeurs trouvées en (b), montrer que la probabilité que $6,3 \leqslant M_n \leqslant 8,3$ est supérieure ou égale à $0,75$. \end{enumerate} \end{enumerate}