% bac2024gen-all-mars-sujet0-exo2.tex \emph{L’exercice est constitué de deux parties indépendantes.} \medskip \textbf{\large Partie I} \medskip Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, on désigne par $f_n$ la fonction définie sur $\IntervalleFF{0}{1}$ par : \[ f_n(x)=x^n\,\e^{x}. \] % On note $\Courbe[n]$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans un repère \RepereOij{} du plan. On désigne par $\Suite{I}$ la suite définie pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1 par : \[ I_n = \int_0^1 f_n(x)\dx. \] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On désigne par $F_1$ la fonction définie sur $\IntervalleFF{0}{1}$ par : \[ F_1(x)=(x-1)\,\e^{x}.\] % Vérifier que $F_1$ est une primitive de la fonction $f_1$. \item Calculer $I_1$. \end{enumerate} \item À l’aide d’une intégration par parties, établir la relation pour tout $n$ supérieur ou égal à 1, \[ I_{n+1} = \e - (n+1)I_n. \] \item Calculer $I_2$ \item On considère la fonction \piton{mystere} écrite dans le langage \textsf{Python} : \begin{CodePiton}[Alignement=center,Largeur=13cm,Gobble=tabs]{} from math import e # la constante d'Euler e def mystere(n): a = 1 L = [a] for i in range(1, n) : a = e - (i+1)*a L.append(a) return L \end{CodePiton} À l’aide des questions précédentes, expliquer ce que renvoie l’appel \piton{mystere(5)}. \end{enumerate} \textbf{\large Partie II} \begin{enumerate} \item Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les courbes $\Courbe[1]$, $\Courbe[2]$, $\Courbe[3]$, $\Courbe[10]$, $\Courbe[20]$ et $\Courbe[30]$. \begin{center} \begin{tikzpicture}[x=12cm,y=2.4cm,xmin=-0.1,xmax=1.1,xgrille=0.1,xgrilles=0.025,ymin=-0.5,ymax=3,ygrille=0.5,ygrilles=0.1] \GrilleTikz\AxesTikz[ElargirOx=0,ElargirOy=0]\OrigineTikz[Police=\small] \AxexTikz[Police=\small]{-0.1,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1} \AxeyTikz[Police=\small]{-0.5,0.5,1,1.5,2,2.5} \FenetreTikz \foreach \k in {1,2,3,10,20,30}{% \CourbeTikz[thick,darkgray,samples=250]{\x^\k*exp(\x)}{0:1} } \foreach \k/\absCk in {1/0.16,2/0.4,3/0.56,10/0.8,20/0.88,30/0.98}{% \draw[darkgray] (\absCk,0.45) node {$\Courbe[\k]$} ; } %\CourbeTikz[thick,darkgray,samples=250]{\x^1*exp(\x)}{0:1} %\CourbeTikz[thick,darkgray,samples=250]{\x^1*exp(\x)}{0:1} \end{tikzpicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Donner une interprétation graphique de $I_n$. \item Quelle conjecture peut-on émettre sur la limite de la suite $\Suite{I}$ ? \end{enumerate} \item Montrer que pour tout $n$ supérieur ou égal à 1, \[ 0 \leqslant I_n \leqslant \e\int_0^1 x^n \dx. \] \item En déduire $\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty} I_n$. \end{enumerate}