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% bac2024gen-all-mars-sujet0-exo1.tex \emph{L’exercice est constitué de deux parties indépendantes.} \medskip \textbf{\large Partie I} \medskip On considère l’équation différentielle \[ (E) \: : \: y'+y=\e^{-x}. \] \begin{enumerate} \item Soit $u$ la fonction définie sur $\R$ par $u(x) = x\,\e^{-x}$. Vérifier que la fonction $u$ est une solution de l’équation différentielle $(E)$. \item On considère l’équation différentielle $(E')$ : $y'+y=0$. Résoudre l’équation différentielle $(E')$ sur $\R$. \item En déduire toutes les solution de l’équation différentielle $(E)$ sur $\R$. \item Déterminer l’unique solution $g$ de l’équation différentielle $(E)$ telle que $g(0)=2$. \end{enumerate} \medskip \textbf{\large Partie II} \medskip Dans cette partie, $k$ est un nombre réel fixé que l’on cherche à déterminer. On considère la fonction $f_k$ définie sur $\R$ par \[ f_k(x)=(x+k)\,\e^{-x}. \] % Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par \[ h(x)=\e^{-x}. \] % On note $\Courbe[k]$ la courbe représentative de la fonction $f_k$ dans un repère orthogonal et $\Courbe$ la courbe représentative de la fonction $h$. On a représenté sur le graphique en annexe les courbes $\Courbe[k]$ et $\Courbe$ sans indiquer les unités sur les axes ni le nom des courbes. \begin{enumerate} \item Sur le graphique en annexe à rendre avec la copie, l’une des courbes est en traits pointillés, l’autre est en trait plein. Laquelle est la courbe $\Courbe$ ? \item En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réel $k$ et placer sur l’annexe à rendre avec la copie l’unité sur chacun des axes du graphique. \end{enumerate}
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