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% bac2023gen-reunion-mars-sujet2-exo2.tex On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 8$ et, pour tout entier naturel $n$, \[u_{n +1} = \dfrac{6u_n + 2}{u_n +5}.\] \begin{enumerate} \item Calculer $u_1$. \item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0;+\infty[$ par : \[f(x) = \dfrac{6x + 2 }{x +5}.\] % Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$. \begin{enumerate} \item Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0;+\infty[$. En déduire que pour tout réel $x > 2$, on a $f(x) > 2$. \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a $u_n > 2$. \end{enumerate} \item On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a : \[u_{n+1} - u_n = \dfrac{\left(2 - u_n\right)\left(u_n + 1\right)}{u_n +5}.\] \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante. \item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. \end{enumerate} \item On définit la suite $\left(v_n\right)$ pour tout entier naturel par : \[v_n = \dfrac{u_n - 2}{u_n + 1}.\] \begin{enumerate} \item Calculer $v_1$. \item Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac47$. \item Déterminer, en justifiant, la limite de $\left(v_n\right)$. En déduire la limite de $\left(u_n\right)$. \end{enumerate} \item On considère la fonction \textsf{Python} \texttt{seuil} ci-dessous, où \texttt{A} est un nombre réel strictement plus grand que 2. \begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=7cm]{center} def seuil(A) : n = 0 u = 8 while u > A : u = (6*u + 2)/(u + 5) n = n+1 return n \end{CodePythonLstAlt} Donner, sans justification, la valeur renvoyée par la commande \texttt{seuil(2.001)} puis interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate}
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