% bac2023gen-reunion-mars-sujet2-exo1.tex Un commerçant vend deux types de matelas: matelas RESSORTS et matelas MOUSSE. On suppose que chaque client achète un seul matelas. On dispose des informations suivantes : \begin{itemize} \item 20\,\% des clients achètent un matelas RESSORTS. Parmi eux, 90\,\% sont satisfaits de leur achat. \item 82\,\% des clients sont satisfaits de leur achat. \end{itemize} \emph{Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On choisit au hasard un client et on note les évènements : \begin{itemize} \item $R$ : \og le client achète un matelas RESSORTS \fg, \item $S$ : \og le client est satisfait de son achat \fg. \end{itemize} On note $x = P_{\overline{R}}(S)$, où $P_{\overline{R}}(S)$ désigne la probabilité de $S$ sachant que $R$ n'est pas réalisé. \begin{wrapstuff}[r] \ArbreProbasTikz[PositionProbas=auto]{% $R$/\numdots/, $S$/\numdots/, $\overline{S}$/\numdots/, $\overline{R}$/\numdots/, $S$/$x$/, $\overline{S}$/\numdots/ } \end{wrapstuff} \begin{enumerate} \item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre décrivant la situation. \item Démontrer que $x = 0,8$. \item On choisit un client satisfait de son achat. Quelle est la probabilité qu'il ait acheté un matelas RESSORTS ? On arrondira le résultat à $10^{-2}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \smallskip \begin{enumerate} \item On choisit 5 clients au hasard. On considère la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de clients satisfaits de leur achat parmi ces 5 clients. \begin{enumerate} \item On admet que $X$ suit une loi binomiale. Donner ses paramètres. \item Déterminer la probabilité qu'au plus trois clients soient satisfaits de leur achat. On arrondira le résultat à $10^{-3}$. \end{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel non nul. On choisit à présent $n$ clients au hasard. Ce choix peut être assimilé à un tirage au sort avec remise. \begin{enumerate} \item On note $p_n$ la probabilité que les $n$ clients soient tous satisfaits de leur achat. Démontrer que $p_n = 0,82^n$. \item Déterminer les entiers naturels $n$ tels que $p_n < 0,01$. Interpréter dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \end{enumerate}