% bac2023gen-reunion-mars-sujet1-exo4.tex On considère le cube $ABCDEFGH$ ci-dessous tel que $AB = 1$. On note $M$ le centre de la face $BCGF$ et $N$ le centre de la face $EFGH$. \begin{center} \begin{tikzpicture}[x={(0:1cm)},y={(30:0.5cm)},z={(90:1cm)},line join=bevel] \coordinate (H) at (0,0,0) ; \draw (H) node[below left] {$H$} ; \coordinate (G) at (4,0,0) ; \draw (G) node[below right] {$G$} ; \coordinate (C) at (4,4,0) ; \draw (C) node[right] {$C$} ; \coordinate (D) at (0,4,0) ; \draw (D) node[below right] {$D$} ; \coordinate (E) at (0,0,4) ; \draw (E) node[left] {$E$} ; \coordinate (F) at (4,0,4) ; \draw (F) node[above] {$F$} ; \coordinate (B) at (4,4,4) ; \draw (B) node[above] {$B$} ; \coordinate (A) at (0,4,4) ; \draw (A) node[above] {$A$} ; \draw[semithick,dashed] (H)--(D) (A)--(D)--(C) ; \draw[semithick] (H)--(G)--(C)--(B)--(F)--(G) ; \draw[semithick] (H)--(E)--(A)--(B)--(F)--(E) ; \end{tikzpicture} \end{center} \medskip On se place dans le repère orthonormé $\left(D; \vect{DH},\,\vect{DC},\,\vect{DA}\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item Donner sans justifier les coordonnées des points $F$ et $C$. \item Calculer les coordonnées des points $M$ et $N$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le vecteur $\vect{AG}$ est normal au plan $(HFC)$. \item En déduire une équation cartésienne du plan $(HFC)$. \end{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AG)$. \item Démontrer que le point R de coordonnées $\left(\dfrac23;\dfrac23;~\dfrac13\right)$ est le projeté orthogonal du point $G$ sur le plan $(HFC)$. \item On admet qu'une représentation paramétrique de la droite $(FG)$ est : \[ \begin{dcases} x=1 \\ y=1 \\ z=t \end{dcases} \: (t \in \R). \] % Démontrer qu'il existe un unique point $K$ sur la droite $(FG)$ tel que le triangle $KMN$ soit rectangle en $K$. \item Quelle fraction du volume du cube $ABCDEFGH$ le volume du tétraèdre $FNKM$ représente-t-il ? \end{enumerate}