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% bac2023gen-reunion-mars-sujet1-exo2.tex On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par : \[ \bm{f(x) = 3x + 1 - 2x \ln (x)}.\] % On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $]0;+\infty[$. On note $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan. \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en 0 et en $+\infty$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout réel $x$ strictement positif : $f'(x) = 1- 2\ln (x)$. \item Étudier le signe de $f'$ et dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0;+\infty[$. On fera figurer dans ce tableau les limites ainsi que la valeur exacte de l'extremum. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $]0;+\infty[$. On notera $\alpha$ cette solution. \item En déduire le signe de la fonction $f$ sur $]0;+\infty[$. \end{enumerate} \item On considère une primitive quelconque de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0;+\infty[$. On la note $F$. Peut-on affirmer que la fonction $F$ est strictement décroissante sur l'intervalle $\left[\e^{\frac12};+ \infty\right[$ ? Justifier. \item \begin{enumerate} \item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $]0;+\infty[$. Quelle est la position de la courbe $\mathcal{C}_f$ par rapport à ses tangentes ? \item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 1. \item Déduire des questions 5.(a) et 5.(b) que pour tout réel $x$ strictement positif : \[\ln (x) \geqslant 1 - \dfrac 1x.\]. \end{enumerate} \end{enumerate}
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