% bac2023gen-reunion-mars-sujet1-exo1.tex Une entreprise appelle des personnes par téléphone pour leur vendre un produit. \begin{itemize} \item L'entreprise appelle chaque personne une première fois: \begin{itemize} \item la probabilité que la personne ne décroche pas est égale à $0,6$ ; \item si la personne décroche, la probabilité qu'elle achète le produit est égale à $0,3$. \end{itemize} \item Si la personne n'a pas décroché au premier appel, on procède à un second appel: \begin{itemize} \item la probabilité que la personne ne décroche pas est égale à $0,3$ ; \item si la personne décroche, la probabilité qu'elle achète le produit est égale à $0,2$. \end{itemize} \item Si une personne ne décroche pas au second appel, on cesse de la contacter. \end{itemize} \medskip On choisit une personne au hasard et on considère les évènements suivants : \begin{itemize} \item[] $D_1$ : \og la personne décroche au premier appel \fg{} ; \item[] $D_2$ : \og la personne décroche au deuxième appel \fg{} ; \item[] $A$ : \og la personne achète le produit \fg. \end{itemize} \medskip \hfill\emph{Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante.}\hfill~ \medskip \textbf{Partie A} \begin{wrapstuff}[r,abovesep=-1.25\baselineskip] \begin{tikzpicture}[] \tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,semithick] \tikzstyle{noeud}=[] \tikzstyle{etiquette}=[midway,sloped] \def\DistanceInterNiveaux{2} \def\DistanceInterFeuilles{0.75} \def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux} \def\NiveauB{(1)*\DistanceInterNiveaux} \def\NiveauC{(2)*\DistanceInterNiveaux} \def\NiveauD{(3)*\DistanceInterNiveaux} \def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles} \node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(2)*\InterFeuilles}) {}; \node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$D_1$}; \node[noeud] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$A$}; \node[noeud] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$\overline{A}$}; \node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(3)*\InterFeuilles}) {$\overline{D_1}$}; \node[noeud] (Rba) at ({\NiveauC},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$D_2$}; \node[noeud] (Rbaa) at ({\NiveauD},{(2)*\InterFeuilles}) {$A$}; \node[noeud] (Rbab) at ({\NiveauD},{(3)*\InterFeuilles}) {$\overline{A}$}; \node[noeud] (Rbb) at ({\NiveauC},{(4)*\InterFeuilles}) {$\overline{D_2}$}; \draw[fleche] (R)--(Ra) node[etiquette,above] {\numdots}; \draw[fleche] (Ra)--(Raa) node[etiquette,above] {${0,3}$}; \draw[fleche] (Ra)--(Rab) node[etiquette,below] {\numdots}; \draw[fleche] (R)--(Rb) node[etiquette,below] {${0,6}$}; \draw[fleche] (Rb)--(Rba) node[etiquette,above] {\numdots}; \draw[fleche] (Rba)--(Rbaa) node[etiquette,above] {\numdots}; \draw[fleche] (Rba)--(Rbab) node[etiquette,below] {\numdots}; \draw[fleche] (Rb)--(Rbb) node[etiquette,below] {\numdots}; \end{tikzpicture} \end{wrapstuff} \begin{enumerate} \item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre. \item En utilisant l'arbre pondéré, montrer que la probabilité de l'évènement $A$ est $P(A) = 0,204$. \item On sait que la personne a acheté le produit. Quelle est la probabilité qu'elle ait décroché au premier appel ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On rappelle que, pour une personne donnée, la probabilité qu'elle achète le produit est égale à $0,204$. \begin{enumerate} \item On considère un échantillon aléatoire de $30$ personnes. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes de l'échantillon qui achètent le produit. \begin{enumerate} \item On admet que X suit une loi binomiale. Donner, sans justifier, ses paramètres. \item Déterminer la probabilité qu'exactement 6 personnes de l'échantillon achètent le produit. Arrondir le résultat au millième. \item Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$. \end{enumerate} Interpréter le résultat. \item Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère désormais un échantillon de $n$ personnes. Déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que la probabilité qu'au moins l'une des personnes de l'échantillon achète le produit soit supérieure ou égale à $0,99$. \end{enumerate}