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% bac2023gen-poly-septembre-sujet1-exo3.tex On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par \[ f(x)=\dfrac34x^2-2x+3. \] \begin{enumerate} \item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\R$. \item En déduire, que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\IntervalleFF{\frac43}{2}$, $f(x)$ appartient à l'intervalle $\IntervalleFF{\frac43}{2}$. \item Démontrer que pour tout $x$ réel, $x \leqslant f(x)$. Pour cela, on pourra démontrer que pour tout réel $x$ : \[ f(x)-x = \dfrac34(x-2)^2. \] \end{enumerate} On considère la suite $\Suite{u}$ définie par un réel $u_0$ et pour tout entier naturel $n$ : \[ u_{n+1} = f\big(u_n\big).\] On a donc, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = \dfrac34u_n^2-2u_n+3.$ \begin{enumerate}[resume] \item Étude du cas : $\frac34 \leqslant u_0 \leqslant 2$. \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, \[ u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 2. \] \item En déduire que la suite $\Suite{u}$ est convergente. \item Prouver que la limite de la suite est égale à 2. \end{enumerate} \item Étude du cas particulier $u_0=3$. On admet que dans ce cas la suite $\Suite{u}$ tend vers $+\infty$. Recopier et compléter la fonction « \texttt{seuil} » suivante écrite en \textsf{Python}, afin qu'elle renvoie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n$ soit supérieur ou égal à 100. \begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=7cm]{center} def seuil() : u = 3 n = 0 while ......... : u = ......... n = ......... return n \end{CodePythonLstAlt} \item Étude du cas : $u_0 > 2$. À l'aide d'un raisonnement par l'absurde, montrer que $\Suite{u}$ n'est pas convergente. \end{enumerate}
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