% bac2023gen-poly-septembre-sujet1-exo2.tex \textit{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[ f(x)=\left(x+\dfrac12\right)\e^{-x}+x. \] \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$. \item On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $\R$. \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout $x \in \R$, \[ f''(x)=\left(x-\dfrac32\right)\e^{-x}. \] \item En déduire les variations et le minimum de la fonction $f'$ sur $\R$. \item Justifier que pour tout $x \in \R$, $f'(x)>0$. \item En déduire que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $\R$. \item Donner une valeur arrondie à $10^{-3}$ de cette solution. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On considère une fonction $h$, définie et dérivable sur $\R$, ayant une expression de la forme \[ h(x)=(ax+b)\e^{-x}+x,\] où $a$ et $b$ sont deux réels. Dans un repère orthonormé ci-après figurent : \begin{itemize} \item la courbe représentative de la fonction $h$ ; \item les points $A$ et $B$ de coordonnées respectives $(-2;-2,5)$ et $(2;3,5)$. \end{itemize} \begin{center} \begin{tikzpicture}[x=0.75cm,y=0.75cm,xmin=-7,xmax=6,xgrille=1,xgrilles=0.2,ymin=-5,ymax=6,ygrille=1,ygrilles=0.2] \GrilleTikz\AxesTikz \AxexTikz[AffOrigine=false,Police=\small]{-6,-5,...,6} \AxeyTikz[AffOrigine=false,Police=\small]{-5,-4,...,6} \draw (-6pt,-4pt) node[below] {$0$} ; \clip (\xmin,\ymin) rectangle (\xmax,\ymax) ; \CourbeTikz[line width=1.25pt,blue,samples=2]{1.5*\x+0.5}{\xmin:\xmax} \filldraw[blue] (-2,-2.5) circle[radius=2pt] node[right] {$A$} ; \filldraw[blue] (2,3.5) circle[radius=2pt] node[right] {$B$} ; \CourbeTikz[line width=1.25pt,red,samples=250]{(\x+0.5)*exp(-\x)+\x}{-1.5:6} \end{tikzpicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Conjecturer, avec la précision permise par le graphique, les abscisses des éventuels points d'inflexion de la courbe représentative de la fonction $h$. \item Sachant que la fonction $h$ admet sur $\R$ une dérivée seconde d'expression \[ h''(x)=-\dfrac32\e^{-x}+x\,\e^{-x},\]% valider ou non la conjecture précédente. \item Déterminer une équation de la droite $(AB)$. \item Sachant que la droite $(AB)$ est tangente à la courbe représentative de la fonction $h$ au point d'abscisse $0$, en déduire les valeurs de $a$ et $b$. \end{enumerate}