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% bac2023gen-poly-mars-sujet2-exo2.tex L’espace est muni d’un repère orthonormé $(O;\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k})$. On considère : \begin{itemize} \item le point $A(1;-1;-1)$ ; \item le plan $\mathcal{P}_1$ d’équation : $5x + 2y + 4z = 17$ ; \item le plan $\mathcal{P}_2$ d’équation : $10x + 14y + 3z = 19$ ; \item la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique : \[ \begin{dcases} x=1+2t \\ y=-t \\ z=3-2t \end{dcases} \text{ où } t \text{ décrit } \mathbb{R}. \] \end{itemize} \begin{enumerate} \item Justifier que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ ne sont pas parallèles. \item Démontrer que $\mathcal{D}$ est la droite d’intersection de $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$. \item \begin{enumerate} \item Vérifier que $A$ n’appartient pas à $\mathcal{P}_1$. \item Justifier que $A$ n’appartient pas à $\mathcal{D}$. \end{enumerate} \item Pour tout réel $t$, on note $M$ le point de $\mathcal{D}$ de coordonnées $(1+2t;-t;3-2t)$. On considère alors $f$ la fonction qui à tout réel $t$ associe $AM^2$, soit $f(t)=AM^2$. \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout réel $t$, on a : $f(t)=9t^2-18t+17$. \item Démontrer que la distance $AM$ est minimale lorsque $M$ a pour coordonnées $(3;-1;1)$. \end{enumerate} \item On note $H$ le point de coordonnées $(3;-1;1)$. Démontrer que la droite $(AH)$ est perpendiculaire à $\mathcal{D}$. \end{enumerate}
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