% bac2023gen-poly-mars-sujet2-exo1.tex \emph{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Chaque jour, un athlète doit sauter une haie en fin d’entraînement. Son entraîneur estime, au vu de la saison précédente, que : \begin{itemize} \item si l’athlète franchit la haie un jour, alors il la franchira dans 90\,\% des cas le jour suivant ; \item si l’athlète ne franchit pas la haie un jour, alors dans 70\,\% des cas il ne la franchira pas non plus le lendemain. \end{itemize} On note pour tout entier naturel $n$ : \begin{itemize} \item $R_n$ l'événement : « L’athlète réussit à franchir la haie lors de la $n$-ième séance », \item $p_n$ la probabilité de l'événement $R_n$. On considère que $p_0=0,6$. \end{itemize} \begin{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel, recopier l’arbre pondéré ci-dessous et compléter les pointillés. \begin{center} \def\ArbreDeuxDeux{ $R_n$/$p_n$/above,$R_{n+1}$/$\ldots$/above,$\overline{R_{n+1}}$/$\ldots$/below, $\overline{R_{n}}$/$1-p_n$/below,$R_{n+1}$/$\ldots$/above,$\overline{R_{n+1}}$/$\ldots$/below } \ArbreProbasTikz{\ArbreDeuxDeux} \end{center} \item Justifier en vous aidant de l’arbre que, pour tout entier naturel $n$, on a :\[ p_{n+1}=0,6p_n+0,3. \] \item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_n = p_n - 0,75$. \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : $p_n = 0,75 - 0,15 \times 0,6^n$. \item En déduire que la suite $\left(p_n\right)$ est convergente et déterminer sa limite $\ell$. \item Interpréter la valeur de $\ell$ dans le cadre de l'exercice. \end{enumerate} \end{enumerate} \smallskip \textbf{Partie B} \medskip Après de nombreuses séances d'entraînement, l’entraineur estime maintenant que l’athlète franchit chaque haie avec une probabilité de $0,75$ et ce indépendamment d’avoir franchi ou non les haies précédentes. \smallskip On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de haies franchies par l’athlète à l’issue d’un 400 mètres haies qui comporte 10 haies. \begin{enumerate} \item Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$. \item Déterminer, à $10^{-3}$ près, la probabilité que l’athlète franchisse les 10 haies. \item Calculer $P(X \geqslant 9)$, à $10^{-3}$ près. \end{enumerate}