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% bac2023gen-poly-mars-sujet1-exo4.tex Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = - 1$ et, pour tout entier naturel $n$ : \[u_{n+1} = 0,9u_n - 0,3.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = 2 \times 0,9^n - 3$. \item En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $- 3 < u_n \leqslant - 1$. \item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est strictement décroissante. \item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge et préciser sa limite. \end{enumerate} \item On se propose d'étudier la fonction $g$ définie sur $]-3;-1]$ par : \[g(x) = \ln (0,5 x + 1,5) - x.\] \begin{enumerate} \item Justifier toutes les informations données par le tableau de variations de la fonction $g$ (limites, variations, image de $-1$). \begin{center} \begin{tikzpicture}[double distance=3pt] \tkzTabInit[lgt=4]{$x$/1,variations de $g$/2}{$-3$,$-2$,$-1$} \tkzTabVar{D-/$-\infty$,+/$g(-2)$,-/$1$} \end{tikzpicture} \end{center} \item En déduire que l'équation $g(x) = 0$ a exactement une solution que l'on notera $\alpha$ et dont on donnera un encadrement d'amplitude $10^{-3}$. \end{enumerate} \item Dans la suite de l'exercice, on considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout $ \in \mathbb{N}$, par : \[v_n = \ln \left(0,5 u_n + 1,5\right).\] \begin{enumerate} \item En utilisant la formule donnée à la question \textbf{1.(a)}, démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique de raison $\ln (0,9)$. \item Soit $n$ un entier naturel. Démontrer que $u_n = v_n$ si, et seulement si $g\left(u_n\right) = 0$. \item Démontrer qu'il n'existe aucun rang $k \in \mathbb{N}$ pour lequel $u_k = \alpha$. \item En déduire qu'il n'existe aucun rang $k \in \mathbb{N}$ pour lequel $v_k = u_k$. \end{enumerate} \end{enumerate}
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