% bac2023gen-poly-mars-sujet1-exo1.tex \emph{Les parties \text{A} et \text{B} peuvent être traitées indépendamment} \medskip Les utilisateurs de vélo d'une ville sont classés en deux catégories disjointes: \begin{itemize} \item ceux qui utilisent le vélo dans leurs déplacements professionnels ; \item ceux qui utilisent le vélo uniquement pour leurs loisirs. \end{itemize} Un sondage donne les résultats suivants: \begin{itemize} \item 21\,\% des utilisateurs ont moins de 35 ans. Parmi eux, 68\,\% utilisent leur vélo uniquement pour leurs loisirs alors que les autres l'utilisent dans leurs déplacements professionnels ; \item parmi les 35 ans ou plus, seuls 20\,\% utilisent leur vélo dans leurs déplacements professionnels, les autres l'utilisent uniquement pour leurs loisirs. \end{itemize} On interroge au hasard un utilisateur de vélo de cette ville. Dans tout l'exercice on considère les évènements suivants: \begin{itemize} \item $J$ : \og la personne interrogée a moins de 35 ans \fg{} ; \item $T$ : \og la personne interrogée utilise le vélo dans ses déplacements professionnels \fg{} ; \item $\overline{J}$ et $\overline{T}$ sont les évènements contraires de $J$ et $T$. \end{itemize} \textbf{Partie A} \smallskip \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité que la personne interrogée ait moins de $35$~ans et utilise son vélo dans ses déplacements professionnels. \emph{On pourra s'appuyer sur un arbre pondéré.} \item Calculer la valeur exacte de la probabilité de $T$. \item On considère à présent un habitant qui utilise son vélo dans ses déplacements professionnels. Démontrer que la probabilité qu'il ait moins de 35 ans est $0,30$ à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \textbf{Partie B} \medskip Dans cette partie, on s'intéresse uniquement aux personnes utilisant leur vélo dans leurs déplacements professionnels. \medskip On admet que 30\,\% d'entre elles ont moins de $35$~ans. On sélectionne au hasard parmi elles un échantillon de $120$~personnes auxquelles on va soumettre un questionnaire supplémentaire. On assimile la sélection de cet échantillon à un tirage aléatoire avec remise. \medskip On demande à chaque individu de cet échantillon son âge. \medskip X représente le nombre de personnes de l'échantillon ayant moins de $35$~ans. \medskip \emph{Dans cette partie, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.} \begin{enumerate} \item Déterminer la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$. \item Calculer la probabilité qu'au moins $50$ utilisateurs de vélo parmi les $120$ aient moins de $35$~ans. \end{enumerate}