🥨 Code source LaTeX par exercice

🔎

📄 Fichier : bac2023gen-nouvcal-aout-sujet2-exo3.tex

↩ Retour 💾 Télécharger

📄 bac2023gen-nouvcal-aout-sujet2-exo3.tex

% bac2023gen-nouvcal-aout-sujet2-exo3.tex On considère la suite $\left(u_n\right)$ telle que $u_0=0$ et pour tout entier naturel $n$ :% \[ u_{n+1} = \frac{-u_n-4}{u_n+3}. \]% On admet que $u_n$ est défini pour tout entier naturel $n$. \begin{enumerate} \item Calculer les valeurs exactes de $u_1$ et $u_2$ \item On considère la fonction \texttt{terme} ci-dessous écrite de manière incomplète en langage Python : \smallskip \begin{minipage}{0.5\linewidth} \begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=7cm]{} def terme(n) : u = ...... for i in range(n) : u = ...... return(u) \end{CodePythonLstAlt} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{0.4\linewidth} On rappelle qu'en langage Python,\\ \og \texttt{i \textcolor{CouleurVertForet}{in} \textcolor{magenta}{range}(n)} \fg{} signifie que \texttt{i} varie de \texttt{0} à \texttt{n-1}. \end{minipage} \hfill~ \smallskip Recopier et compléter le cadre ci-dessus de sorte que, pour tout entier naturel $n$, l'instruction \texttt{terme(n)} renvoie la valeur de $u_n$. \item Soit la fonction $f$ définie sur $\intervOO{-3}{+\infty}$ par :% \[ f(x)=\frac{-x-4}{x+3}. \]% Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=f\big(u_n\big)$. Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\intervOO{-3}{+\infty}$. \item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :% \[ -2 < u_{n+1} \leqslant u_n. \] \item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. \item Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :% \[ v_n = \frac{1}{u_n+2}. \] \begin{enumerate} \item Donner $v_0$. \item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique de raison 1. \item En déduire que pour tout entier naturel $n$ :% \[ u_n = \frac{1}{n+0,5}-2. \] \item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate}
✓ Code copié dans le presse-papier !