% bac2023gen-nouvcal-aout-sujet2-exo2.tex On considère la fonction $f$, définie sur $\intervFO{0}{+\infty}$ par :% \[ f(x)=x\,\e^{-x}. \] % On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan. On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $\intervFO{0}{+\infty}$. On note $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde. \begin{enumerate} \item En remarquant que pour tout $x$ dans $\intervFO{0}{+\infty}$, on a $f(x) = \frac{x}{\e^x}$, démontrer que la courbe $\mathcal{C}_f$ possède une asymptote en $+\infty$ dont on donnera une équation. \item Démontrer que pour tout réel $x$ appartenant à $\intervFO{0}{+\infty}$ :% \[ f'(x)=(1-x)\,\e^{-x}. \] \item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\intervFO{0}{+\infty}$, sur lequel on fera figurer les valeurs aux bornes ainsi que la valeur exacte de l'extremum. \item Déterminer, sur l'intervalle $\intervFO{0}{+\infty}$, le nombre de solutions de l'équation :% \[ f(x)=\frac{367}{\num{1000}}. \] \item On admet que pour tout $x$ appartenant à $\intervFO{0}{+\infty}$ :% \[ f''(x)= \e^{-x} (x-2). \] % Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $\intervFO{0}{+\infty}$. \item Soit $a$ un réel appartenant à $\intervFO{0}{+\infty}$ et $A$ le point de la courbe $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $a$. \begin{wrapstuff}[r] \begin{tikzpicture}[x=2cm,y=10cm,xmin=0,xmax=3,ymin=0,ymax=0.45] \draw[semithick] (-0.5,0)--(\xmax,0) ; \draw[semithick] (0,0)--(0,\ymax) ; \CourbeTikz[thick,blue,samples=250]{\x*exp(-\x)}{0:\xmax} \draw[blue] (2.25,0.23714) node[above] {$\mathcal{C}_f$} ; \draw[thick,dashed] (0.75,0) node[below] {$a$} --++ (0,{0.75*exp(-0.75)}) ; \draw[thick,teal] (0,{0.75^2*exp(-0.75)})--({1.75},{0.25*exp(-0.75)*1.75+0.75^2*exp(-0.75)}) node[pos=0.75,above] {$T_a$}; \draw[thick,->,>=latex] (-0.25,0)--++(0,{0.75^2*exp(-0.75)}) node[midway,left] {$g(a)$}; \draw[thick,densely dashed] (-0.25,{0.75^2*exp(-0.75)})--++(0.25,0) ; \filldraw (0.75,{0.75*exp(-0.75)}) circle[fill,radius=1.5pt] node[above] {$A$} ; \filldraw (0,{0.75^2*exp(-0.75)}) circle[fill,radius=1.5pt] node[above left] {$H_a$} ; \end{tikzpicture} \end{wrapstuff} On note $T_a$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $A$. On note $H_a$ le point d'intersection de la droite $T_a$ et de l'axe des ordonnées. On note $g(a)$ l'ordonnée de $H_a$. La situation est représentée sur la figure ci-contre. \end{enumerate} \begin{enumerate} \item[] \begin{enumerate} \item Démontrer qu’une équation réduite de la tangente $T_a$ est : \[y=\left( (1-a)\,\e^{-a} \right) \times x + a^2 \, \e^{-a}.\] \item En déduire l'expression de $g(a)$. \item Démontrer que $g(a)$ est maximum lorsque $A$ est un point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$.\\ \emph{Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.} \end{enumerate} \end{enumerate}