% bac2023gen-nouvcal-aout-sujet2-exo1.tex On considère le cube $ABCDEFGH$ d'arête 1 représenté ci-contre. \begin{wrapstuff}[r,abovesep=-1.5\baselineskip] \begin{tikzpicture}[x={(-140:1.35cm)},y={(0:2.43cm)},z={(90:2.25cm)}] %placement des points avec labels \PlacePointsEspace{A/0,0,0/hd B/0,1,0/bd C/1,1,0/b D/1,0,0/b E/0,0,1/hg F/0,1,1/hd G/1,1,1/hg H/1,0,1/hg K/1,0.5,1/h} %segments pointillés \TraceSegmentsEspace[thick,dashed]{A/D A/B A/E} %segments pleins \TraceSegmentsEspace[thick]{D/C C/B B/F F/E E/H H/D H/G F/G G/C} %Marques points \MarquePointsEspace{A,B,C,D,E,F,G,H,K} %Axes \draw[thick] (D)--++(0.75,0,0) node[above] {$x$} ; \draw[thick] (B)--++(0,0.6,0) node[above left] {$y$} ; \draw[thick] (E)--++(0,0,0.5) node[below right] {$z$} ; \end{tikzpicture} \end{wrapstuff} \smallskip On note $K$ le milieu du segment $[HG]$. \smallskip On se place dans le repère orthonormé $\left(A;\vect{AD},\vect{AB},\vect{AE}\right)$. \begin{enumerate} \item Justifier que les points $C$, $F$ et $K$ définissent un plan. \item \begin{enumerate} \item Donner, sans justifier, les longueurs $KG$, $GF$ et $GC$. \item Calculer l'aire du triangle $FGC$. \item Calculer le volume du tétraèdre $FGCK$. \bigskip On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d'un tétraèdre est donné par :% \[ \mathcal{V}=\frac13 \mathcal{B} \times h, \]% où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur correspondante.\hfill~% \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On note $\vect{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$. Démontrer que $\vect{n}$ est normal au plan $(CFK)$. \item En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(CFK)$ est :% \[ x+2y+z-3=0. \] \end{enumerate} \item On note $\Delta$ la droite passant par le point $G$ et orthogonale au plan $(CFK)$. Démontrer qu'une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est :% \[ \begin{dcases} x=1+t\\y=1+2t\\z=1+t\end{dcases} \qquad (t \in \R). \] \item Soit $L$ le point d'intersection entre la droite $A$ et le plan $(CFK)$. \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées du point $L$. \item En déduire que $LG = \dfrac{\sqrt{6}}{6}$. \end{enumerate} \item En utilisant la question \textbf{2.}, déterminer la valeur exacte de l'aire du triangle $CFK$. \end{enumerate}