% bac2023gen-nouvcal-aout-sujet1-exo1.tex Une entreprise de location de bateaux de tourisme propose à ses clients deux types de bateaux : bateau à voile et bateau à moteur. \smallskip Par ailleurs, un client peut prendre l'option PILOTE. Dans ce cas, le bateau, qu'il soit à voile ou à moteur, est loué avec un pilote. \smallskip On sait que : \begin{itemize} \item 60\,\% des clients choisissent un bateau à voile ; parmi eux, 20\,\% prennent l'option PILOTE. \item 42\,\% des clients prennent l'option PILOTE. \end{itemize} On choisit un hasard un client et on considère les événements : \begin{itemize} \item $V$ : \og le client un bateau à voile \fg{} ; \item $L$ : \og le client prend l'option PILOTE \fg. \end{itemize} \medskip \hfill~\textit{Les trois parties peuvent être traitées de manière indépendante.}\hfill~ \medskip \textbf{Partie A} \smallskip \begin{enumerate} \item Traduire la situation par un arbre pondéré que l'on complètera au fur et à mesure. \item Calculer la probabilité que le client choisisse un bateau à voile et qu'il ne prenne pas l'option PILOTE. \item Démontrer que la probabilité que le client choisisse un bateau à moteur et qu'il prenne l'option PILOTE est égale à $0,30$. \item En déduire $P_{\overline{V}}(L)$, probabilité de $L$ sachant que $V$ n'est pas réalisé. \item Un client a pris l'option PILOTE. Quelle est la probabilité qu'il ait choisi un bateau à voile ? Arrondir à $0,01$ près. \end{enumerate} \smallskip \textbf{Partie B} \medskip Lorsqu'un client ne prend pas l'option PILOTE, la probabilité que son bateau subisse une avarie est égale à $0,12$. Cette probabilité n'est que de $\num{0,005}$ si le client prend l'option PILOTE. On considère un client. On note $A$ l'événement : \og son bateau subit une avarie \fg. \begin{enumerate} \item Déterminer $P\big(L \cap A\big)$ et $P\big(\overline{L} \cap A\big)$. \item L'entreprise loue \num{1000} bateaux. À combien d'avaries peut-on s'attendre ? \end{enumerate} \smallskip \textbf{Partie C} \medskip On rappelle que la probabilité qu'un client donné prenne l'option PILOTE est égale à $0,42$. On considère un échantillon aléatoire de 40 clients. On note $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de clients de l'échantillon prenant l'option PILOTE. \begin{enumerate} \item On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Donner sans justification ses paramètres. \item Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, qu'au moins 15 clients prennent l'option PILOTE. \end{enumerate}