🥨 Code source LaTeX par exercice

🔎

📄 Fichier : bac2023gen-liban-mars-sujet2-exo2.tex

↩ Retour 💾 Télécharger

📄 bac2023gen-liban-mars-sujet2-exo2.tex

% bac2023gen-liban-mars-sujet2-exo2.tex \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $f$ définie par : \[ f(x)=x-\ln(1+x). \] % \begin{enumerate} \item Justifier que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]-1;+\infty[$. \item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $]-1;+\infty[$. Déterminer l'expression de sa fonction dérivée $f'$. \item \begin{enumerate} \item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]-1;+\infty[$. \item En déduire le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $]-1;+\infty[$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]-1;+\infty[$[, on a : \[ f(x) = \ln {\left(\frac{\text{e}^x}{1+x}\right)}. \] \item En déduire la limite en $+\infty$ de la fonction $f$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On considère la suite $\big(u_n\big)$ définie par $u_0=10$ et, pour tout entier naturel $n$, \[ u_{n+1}=u_n-\ln\big(1+u_n\big). \] % On admet que la suite $\big(u_n\big)$ est bien définie. \begin{enumerate} \item Donner la valeur arrondie au millième de $u_1$. \item En utilisant la question \textbf{3.a.} de la \textbf{partie A}, démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n \geqslant 0$. \item Démontrer que la suite $\big(u_n\big)$ est décroissante. \item Déduire des questions précédentes que la suite $\big(u_n\big)$ converge. \item Déterminer la limite de la suite $\big(u_n\big)$. \end{enumerate}
✓ Code copié dans le presse-papier !