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% bac2023gen-liban-mars-sujet1-exo1.tex On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par : \[g(x) = \ln \left(x^2\right) + x - 2.\] \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de la fonction $g$ aux bornes de son ensemble de définition. \item On admet que la fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $]0;+\infty[$. Étudier les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0;+\infty[$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer qu'il existe un unique réel strictement positif $\alpha$ tel que $g(\alpha) = 0$. \item Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$. \end{enumerate} \item En déduire le tableau de signe de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0;+\infty[$. \end{enumerate} \smallskip \textbf{Partie B} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par : \[f(x) = \dfrac{(x-2)}{x}\ln(x).\] % On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en 0. \item Interpréter graphiquement le résultat. \end{enumerate} \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. \item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]0;+\infty[$, Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, on a $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}$. \item En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0;+\infty[$, \end{enumerate} \smallskip \textbf{Partie C} \medskip Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de la courbe représentative de la fonction $\ln$ sur l'intervalle $]0;+\infty[$.
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