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% bac2023gen-fr-septembre-sujet2-exo3.tex On considère la suite $\suiten$ définie par : \[ \begin{dcases} u_1 = \frac{1}{\e} \\ u_{n+1} = \frac{1}{\e} \left(1+\frac1n\right)u_n \text{ pour tout entier } n \geqslant 1. \end{dcases} \] \begin{enumerate} \item Calculer les valeurs exactes de $u_2$ et $u_3$. On détaillera les calculs. \item On considère une fonction écrite en langage \textsf{Python} qui, pour un entier naturel $n$ donné, affiche le terme $u_n$. Compléter les lignes \textsf{L2} et \textsf{L4} de ce programme. \begin{CodePythonLstAlt}[Largeur=8cm]{center} def suite(n): .................. for i in range(1, n) : u = .................. return u \end{CodePythonLstAlt} \item On admet que tous les termes de la suite $\suiten$ sont strictement positifs. \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, on a : $1+\dfrac1n \leqslant \e$. \item En déduire que la suite $\suiten$ est décroissante. \item La suite $\suiten$ est-elle convergente ? Justifier votre réponse. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul, on a : $u_n = \dfrac{n}{\e^n}$. \item En déduire, si elle existe, la limite de la suite $\suiten$. \end{enumerate} \end{enumerate}
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