% bac2023gen-fr-septembre-sujet2-exo2.tex On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ par : \[ f(x)=(2-\ln(x)) \times \ln(x), \]% où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien. On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\intervOO{0}{+\infty}$. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal et $\mathcal{C}'$ la courbe représentative de la fonction $f'$, fonction dérivée de la fonction $f$. La \textbf{courbe} $\bm{\mathcal{C}_f}$ est donnée ci-dessous ainsi que son unique tangente horizontale $(T)$. \begin{center} \begin{tikzpicture}[xmin=0,xmax=17.5,x=0.75cm,xgrille=1,ymin=-0.38,ymax=2.2,y=3.75cm,ygrille=0.2] \GrilleTikz[Affs=false] \AxesTikz[ElargirOx=0,ElargirOy=0] \AxexTikz[AffOrigine=false]{0,1,...,17} \AxeyTikz{-0.2,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1,1.2,1.4,1.6,1.8,2} \FenetreTikz \CourbeTikz[red,line width=1.25pt,samples=500]{(2-2*ln(\x))/(\x)}{0.75:17.5} \draw[teal,line width=1.25pt,densely dashed] ({exp(2)},0)--++ (0,{2*(1-ln(exp(2)))/exp(2)}) ; \draw[teal,line width=1.25pt,densely dashed] (0,{2*(1-ln(exp(2)))/exp(2)}) --++(\xmax,0) ; \draw[teal] (1.15,{2*(1-ln(exp(2)))/exp(2)}) node[below left] {$(T)$} ; \draw[fill=white] (3,1.4) rectangle (16,2) node[midway,text width=\fpeval{13*0.75}cm,align=center] {On rappelle que \textbf{cette courbe $\bm{\mathcal{C}'}$ est la courbe représentative de la fonction dérivée $\bm{f'}$}} ; \end{tikzpicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Par lecture graphique, avec la précision que permet le tracé ci-dessus, donner : \begin{enumerate} \item le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d’abscisse 1 ; \item le plus grand intervalle sur lequel la fonction f est convexe. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. \item Calculer $\lim\limits_{x \to 0} f(x)$. Interpréter graphiquement ce résultat. \end{enumerate} \item Montrer que la courbe $\mathcal{C}$ coupe l’axe des abscisses en deux points exactement dont on précisera les coordonnées. \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à $\intervOO{0}{+\infty}$, $f'(x)=\dfrac{2(1-\ln(x))}{x}$. \item En déduire, en justifiant, le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\intervOO{0}{+\infty}$. \end{enumerate} \item On note $f''$ la dérivée seconde de $f$ et on admet que pour tout réel $x$ appartenant à $\intervOO{0}{+\infty}$, $f''(x)=\dfrac{2(\ln(x)-2)}{x^2}$. Déterminer par le calcul le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe et préciser les coordonnées du point d’inflexion de la courbe $\mathcal{C}$. \end{enumerate}