% bac2023gen-fr-septembre-sujet1-exo4.tex \textbf{PARTIE A} \medskip On définit sur l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ la fonction $g$ par : \[ g(x)=\frac2x - \frac{1}{x^2}+\ln(x) \text{ où } \ln \text{ désigne la fonction logarithme népérien. } \] On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $\intervOO{0}{+\infty} = I$ et on note $g'$ sa fonction dérivée. \begin{enumerate} \item Montrer que pour $x > 0$, le signe de $g'(x)$ est celui du trinôme du second degré $\big(x^2-2x+2\big)$ \item En déduire que la fonction g est strictement croissante sur $\intervOO{0}{+\infty}$. \item Montrer que l’équation $g(x) = 0$ admet une unique solution sur l’intervalle $\intervFF{0,5}{1}$, que l’on notera $\alpha$. \item On donne le tableau de signes de $g$ sur l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty} = I$ : % \begin{center} \begin{tikzpicture}[double distance=4pt] \tkzTabInit{$x$/1,$g(x)$/1}{$0$,$\alpha$,$+\infty$} \tkzTabLine{d,-,z,+,} \end{tikzpicture} \end{center} % Justifier ce tableau de signes à l’aide des résultats obtenus aux questions précédentes. \end{enumerate} \medskip \textbf{PARTIE B} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty} = I$ par : \[ f(x)=\e^x \ln(x). \] On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé. \begin{enumerate} \item On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\intervOO{0}{+\infty}$, on note $f'$ sa fonction dérivée, $f''$ sa fonction dérivée seconde et on admet que, pour tout nombre réel $x > 0$ : \[ f'(x)=\e^x \left(\frac1x+\ln(x)\right). \] % Démontrer que, pour tout réel $x > 0$, on a : $f''(x) = \e^x \left(\frac2x-\frac{1}{x^2}+\ln(x)\right)$. \smallskip On pourra remarquer que pour tout réel $x > 0$, $f''(x) = \e^x \times g(x)$, où $g$ désigne la fonction étudiée dans la partie \textbf{A}. \item \begin{enumerate} \item Dresser le tableau de signes de la fonction $f$ sur $\intervOO{0}{+\infty}$. Justifier. \item Justifier que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet un unique point d’inflexion $A$. \item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$. Justifier. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition. \item Montrer que $f'(\alpha) = \dfrac{\e^{\alpha}}{\alpha^2}(1-\alpha)$. On rappelle que $\alpha$ est l’unique solution de l’équation $g(x) = 0$. \item Démontrer que $f'(\alpha)>0$ et en déduire le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à $\intervOO{0}{+\infty}$. \item En déduire le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur $\intervOO{0}{+\infty}$. \end{enumerate} \end{enumerate}