% bac2023gen-fr-mars-sujet2-exo4.tex On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)= = \ln \big(1+\text{e}^{-x}\big)$ , où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien. \smallskip On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath}\right)$. La courbe $\mathcal{C}$ est tracée ci-dessous. \begin{center} \begin{tikzpicture}[x=1.5cm,y=1.5cm] \draw[semithick] (-3,0)--(3.5,0) (0,-0.5)--(0,3) ; \draw (0,0) node[below left=0pt] {0} ; \draw[semithick] (1,2pt)--++(0,-4pt) node[below=1pt] {1} ; \draw[semithick] (2pt,1)--++(-4pt,0) node[left=1pt] {1} ; \draw[black,fill=gray] (0,{ln(2)}) circle[radius=1.5pt] ; \draw[thick,red,samples=250,domain=-3:3.5] plot (\x,{ln(1+exp(-\x))}) ; \draw (3.25,0) node[above=3pt,red,font=\large] {$\mathcal{C}$} ; \draw (1.875,-0.44) node {$T_0$} ; \def\AA{2} \coordinate (Na) at ({\AA},{ln(1+exp(-\AA)}) ; \coordinate (Ma) at ({-\AA},{ln(1+exp(\AA)}) ; \coordinate (V) at ($(Ma)!-1!(Na)$) ; \coordinate (W) at ($(Na)!-1!(Ma)$) ; \clip (-3,-0.5) rectangle (3.5,3) ; \draw[semithick,densely dashed,samples=2,domain=-3:3.5] plot (\x,{-0.5*\x+ln(2)}) ; \draw[semithick,densely dashed] (V)--(W) ; \filldraw[black] (Na) circle[radius=2pt] node[above right] {$N_a$} ; \filldraw[black] (Ma) circle[radius=2pt] node[above right] {$M_a$} ; \end{tikzpicture} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$. \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. Interpréter graphiquement ce résultat. \item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. Calculer $f'(x)$ puis montrer que, pour tout nombre réel $x$, $f'(x)=\frac{-1}{1+\text{e}^{x}}$. \item Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$. \end{enumerate} \item On note $T_0$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d’abscisse 0. \begin{enumerate} \item Déterminer une équation de la tangente $T_0$. \item Montrer que la fonction $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$. \item En déduire que, pour tout nombre réel $x$, on a : $f(x) \geqslant -\frac12 x + \ln(2)$. \end{enumerate} \item Pour tout nombre réel $a$ différent de 0, on note $M_a$ et $N_a$ les points de la courbe $\mathcal{C}$ d’abscisses respectives $-a$ et $a$. On a donc : $M_a \big(-a;f(-a)\big)$ et $N_a \big(a;f(a)\big)$. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout nombre réel $x$, on a : $f(x)-f(-x)=-x$. \item En déduire que les droites $T_0$ et $(M_aN_a)$ sont parallèles. \end{enumerate} \end{enumerate}