% bac2023gen-fr-mars-sujet2-exo2.tex Des biologistes étudient l’évolution d’une population d’insectes dans un jardin botanique. Au début de l’étude la population est de \num{100000} insectes. Pour préserver l’équilibre du milieu naturel le nombre d’insectes ne doit pas dépasser \num{400000}. \bigskip \textbf{Partie A : Étude d’un premier modèle en laboratoire} \medskip L’observation de l’évolution de ces populations d’insectes en laboratoire, en l’absence de tout prédateur, montre que le nombre d’insectes augmente de $60$\,\% chaque mois. En tenant compte de cette observation, les biologistes modélisent l’évolution de la population d’insectes à l’aide d’une suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ modélise le nombre d’insectes, exprimé en millions, au bout de $n$ mois. On a donc $u_0 = 0,1$. \begin{enumerate} \item Justifier que pour tout entier naturel $n$ : $u_n = 0,1 \times 1,6^n$. \item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. \item En résolvant une inéquation, déterminer le plus petit entier naturel $n$ à partir duquel $u_n > 0,4$. \item Selon ce modèle, l’équilibre du milieu naturel serait-il préservé ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \smallskip \textbf{Partie B : Étude d’un second modèle} \medskip En tenant compte des contraintes du milieu naturel dans lequel évoluent les insectes, les biologistes choisissent une nouvelle modélisation. Ils modélisent le nombre d’insectes à l’aide de la suite $\left(v_n\right)$, définie par : $v_0=0,1$ et, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=1,6v_n-1,6v_n^2$, où, pour tout entier naturel $n$, $v_n$ est le nombre d’insectes, exprimé en millions, au bout de $n$ mois. \begin{enumerate} \item Déterminer le nombre d’insectes au bout d’un mois. \item On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $\left[0;\frac12\right]$ par $f(x)=1,6x-1,6x^2$. \begin{enumerate} \item Résoudre l’équation $f(x)=x$. \item Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $\left[0;\frac12\right]$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant v_n \leqslant v_{n+1} \leqslant \frac12$. \item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est convergente. \smallskip On note $\ell$ la valeur de sa limite. On admet que $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$. \item Déterminer la valeur de $\ell$. Selon ce modèle, l’équilibre du milieu naturel sera-t-il préservé ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \item On donne ci-dessous la fonction \texttt{seuil}, écrite en langage \textsf{Python}. \begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=5.5cm]{center} def seuil(a) : v = 0.1 n = 0 while v < a : v = 1.6*v - 1.6*v*v n = n+1 return n \end{CodePythonLstAlt} \begin{enumerate} \item Qu’observe-t-on si on saisit \texttt{seuil(0.4)} ? \item Déterminer la valeur renvoyée par la saisie de \texttt{seuil(0.4)}. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice. \end{enumerate} \end{enumerate}