% bac2023gen-fr-mars-sujet1-exo4.tex On considère le cube $ABCDEFGH$ d’arête 1. On appelle $I$ le point d’intersection du plan $(GBD)$ avec la droite $(EC)$. \begin{center} \begin{tikzpicture}[x={(0:4cm)},y={(27:2cm)},z={(90:4cm)},line join=bevel] \coordinate (A) at (0,0,0) ; \coordinate (B) at (1,0,0) ; \coordinate (C) at (1,1,0) ; \coordinate (D) at (0,1,0) ; \coordinate (E) at (0,0,1) ; \coordinate (F) at (1,0,1) ; \coordinate (G) at (1,1,1) ; \coordinate (H) at (0,1,1) ; \coordinate (I) at ({2/3},{2/3},{1/3}) ; \coordinate (J) at ($(D)!0.5!(B)$) ; \coordinate (U) at ($(E)!-0.16!(C)$) ;%prolongement de (EC) à gauche \coordinate (V) at ($(E)!1.19!(C)$) ;%prolongement de (EC) à droite \draw[semithick,dashed] (A)--(D)--(C) (D)--(H) ; \draw[semithick,densely dashed] (D)--(B) (E)--(C) (D)--(G) ; \draw[semithick] (A)--(B)--(F)--(E)--cycle (B)--(C)--(G)--(F)--cycle (E)--(F)--(G)--(H)--cycle (B)--(G) (U)--(E) (C)--(V) ; \foreach \point/\pos in {A/below,B/below,C/below,D/below,E/above,F/above,G/above,H/above,I/below left,J/below left} {\filldraw (\point) circle[radius=1.25pt] node[\pos] {$\point$} ;} \end{tikzpicture} \end{center} L’espace est rapporté au repère $\left(A;\vect{AB},\,\vect{AD},\,\vect{AE}\right)$. \begin{enumerate} \item Donner dans ce repère les coordonnées des points $E$, $C$, $G$. \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(EC)$. \item Démontrer que la droite $(EC)$ est orthogonale au plan $(GBD)$. \item \begin{enumerate} \item Justifier qu’une équation cartésienne du plan $(GBD)$ est : $x + y - z - 1 = 0$. \item Montrer que le point $I$ a pour coordonnées $\left(\frac23;\frac23;\frac13\right)$. \item En déduire que la distance du point $E$ au plan $(GBD)$ est égale à $\frac{2\sqrt{3}}{3}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le triangle $BDG$ est équilatéral. \item Calculer l’aire du triangle $BDG$. On pourra utiliser le point $J$, milieu du segment $[BD]$. \end{enumerate} \item Justifier que le volume du tétraèdre $EGBD$ est égal à $\frac13$. \smallskip \textit{On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par : $\mathcal{V}=\frac13 \mathcal{B}h$ où $\mathcal{B}$ est l’aire d’une base du tétraèdre et $h$ est la hauteur relative à cette base.} \end{enumerate}