% bac2023gen-fr-mars-sujet1-exo3.tex Une entreprise a créé une Foire Aux Questions (« FAQ ») sur son site internet. \smallskip On étudie le nombre de questions qui y sont posées chaque mois. \bigskip \textbf{Partie A : Première modélisation} \medskip Dans cette partie, on admet que, chaque mois : \begin{itemize} \item 90\,\% des questions déjà posées le mois précédent sont conservées sur la FAQ ; \item 130 nouvelles questions sont ajoutées à la FAQ. \end{itemize} Au cours du premier mois, 300 questions ont été posées. \smallskip Pour estimer le nombre de questions, en centaines, présentes sur la FAQ le $n$-ième mois, on modélise la situation ci-dessus à l’aide de la suite $\left(u_n\right)$ définie par :% \[ u_1=3 \text{ et, pour tout entier naturel } n \geqslant 1\text{, } u_{n+1}=0,9u_n+1,3. \] % \begin{enumerate} \item Calculer $u_2$ et $u_3$ et proposer une interprétation dans le contexte de l’exercice. \begin{wrapstuff}[r,abovesep=0.75\baselineskip] \begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=5.5cm]{fontupper=\scriptsize} def seuil(p) : n = 1 u = 3 while u <= p : n = n+1 u = 0.9*u + 1.3 return n \end{CodePythonLstAlt} \end{wrapstuff} \item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n\geqslant 1$ :% \[ u_{n} = 13 - \frac{100}{9} \times 0,9^n. \] \item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante. \item On considère le programme ci-contre, écrit en langage \textsf{Python}. \smallskip Déterminer la valeur renvoyée par la saisie de \texttt{seuil(8.5)} et l’interpréter dans le contexte de l’exercice. \end{enumerate} \smallskip \textbf{Partie B : Une autre modélisation} \medskip Dans cette partie, on considère une seconde modélisation à l’aide d’une nouvelle suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ par : % \[ v_n = 9 - 6 \times \text{e}^{-0,19 \times (n-1)} .\] % Le terme $v_n$ est une estimation du nombre de questions, en centaines, présentes le $n$-ième mois sur la FAQ. \begin{enumerate} \item Préciser les valeurs arrondies au centième de $v_1$ et $v_2$. \item Déterminer, en justifiant la réponse, la plus petite valeur de $n$ telle que $v_n > 8,5$. \end{enumerate} \smallskip \textbf{Partie C : Comparaison des deux modèles} \smallskip \begin{enumerate} \item L’entreprise considère qu’elle doit modifier la présentation de son site lorsque plus de 850 questions sont présentes sur la FAQ. Parmi ces deux modélisations, laquelle conduit à procéder le plus tôt à cette modification ? Justifier votre réponse. \item En justifiant la réponse, pour quelle modélisation y a-t-il le plus grand nombre de questions sur la FAQ à long terme ? \end{enumerate}