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% bac2023gen-fr-mars-sujet1-exo2.tex On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=x^2-8\,\ln(x)$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien. \smallskip On admet que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$, on note $f'$ sa fonction dérivée. \begin{enumerate} \item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$. \item On admet que, pour tout réel $x$ de $]0;+\infty[$, $f(x)=x^2 \left(1-8\frac{\ln(x)}{x}\right)$. Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$. \item Montrer que, pour tout réel $x$ de $]0;+\infty[$, $f'(x)=\frac{2\big(x^2-4\big)}{x}$. \item Étudier les variations de $f$ sur $]0;+\infty[$ et dresser son tableau de variations complet. On précisera la valeur exacte du minimum de $f$ sur $]0;+\infty[$. \item Démontrer que, sur l'intervalle $]0;2]$, l’équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ (on ne cherchera pas à déterminer la valeur de $\alpha$). \item On admet que, sur l’intervalle $[2;+\infty[$, l’équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\beta$ (on ne cherchera pas à déterminer la valeur de $\beta$). En déduire le signe de $f$ sur l’intervalle $]0;+\infty[$. \item Pour tout nombre réel $k$, on considère la fonction $g_k$ définie sur $]0;+\infty[$ par : \[ g_k(x)=x^2-8\,\ln(x)+k. \] % En s’aidant du tableau de variations de $f$, déterminer la plus petite valeur de $k$ pour laquelle la fonction $g_k$ est positive sur l’intervalle $]0;+\infty[$. \end{enumerate}
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